Uno schema riassuntivo degli




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UNO SCHEMA RIASSUNTIVO DEGLI

ELEMENTI FONDAMENTALI DELL'ARITMETICA TRANSFINITA

(Il presente lavoro prende le mosse dall'indagine concernente le definizioni matematiche di discreto e continuo esposta nell'appendice all'articolo "I paradossi di Zenone sul movimento e il dualismo spazio-tempo", punto 12 di: http://www.dipmat.unipg.it/~bartocci/ep8/ep8.htm, e funge inoltre da preambolo a "Riflessioni sullo skolemismo, la goedelite, e altre ... malattie di moda della matematica del XX secolo", punto 13 della pagina:

http://www.dipmat.unipg.it/~bartocci/listamat.htm.

I riferimenti impliciti - simbolismo, definizioni, etc. - sono agli Elementi di Matematica reperibili a: http://www.dipmat.unipg.it/~bartocci/mat/elementi.htm, o alle più sintetiche "dispense" del corso di "Algebra 1 con Elementi di Logica 1":

http://www.dipmat.unipg.it/~bartocci/mat/alg-prog.htm.

L'elencazione dei risultati è pensata in ordine "logico", non cronologico. Per le notizie di carattere storico ci siamo basati sostanzialmente sulla presentazione che ne viene fornita in Morris Kline, Storia del pensiero matematico, Einaudi, Torino, 1999, Vol. II, cap. 41, "I fondamenti della teoria dei numeri reali e della teoria dei numeri transfiniti".)



Teoremi di tipo generale
L1 - I Teorema di Cantor-Bernstein.  A, B  Ob(), se i due insiemi Mono(A,B) e Mono(B,A) sono entrambi diversi dal vuoto, allora l'insieme Iso(A,B) è pure non vuoto (il viceversa è ovvio).
[E' difficile dimostrare il teorema in oggetto nel caso di due insiemi infiniti qualsiasi, ma esso è evidente sia nel caso di insiemi finiti, sia nel caso di insiemi numerabili. Limitandoci a questa seconda evenienza, possiamo infatti porre direttamente B = N, e interpretare la condizione Mono(A,B)   assumendo che A sia direttamente un sottoinsieme di N. E' chiaro allora che, se A è infinito, esso è di necessità numerabile, ossia Iso(A,N)  , anzi, nell'insieme Iso(A,N) esiste un isomorfismo canonico (indotto dal buon ordinamento di N), che associa al primo elemento di A il numero 1, al secondo il numero 2, etc..]
L2 - Teorema del confronto (Zermelo, 1904).  A, B  Ob() (se si preferisce:  , Card), risulta o A  B o B  A (o o ), con "o" ovviamente alternativo e non disgiuntivo.
L3 - Teorema del buon ordinamento per i numeri cardinali (esiste un analogo teorema per i numeri ordinali, dal quale consegue quello presente; cfr. cap. VI degli Elementi...). La relazione d'ordine  in Card è un buon ordinamento.
Conclusione. La struttura "naturale" di buon ordinamento si estende dall'insieme dei numeri cardinali finiti [simbolo: N0 = 0,1,2,3,...; N = 1,2,3,... è l'insieme dei numeri naturali] alla classe di "tutti" i numeri cardinali, finiti e infiniti, o transfiniti (che può dirsi anche "retta cardinale", in simboli: Card) Anche le operazioni ordinarie dell'aritmetica - somma, prodotto ed esponenziazione - si possono estendere da N0 a Card.
Teoremi di tipo contenutistico particolare
Si ponga 0 = e c = , ove R è il campo dei numeri reali (0 è evidentemente il minimo cardinale infinito; un insieme di cardinale 0 si dice numerabile; c viene chiamato invece il cardinale del continuo).
C1 - I Teorema di Cantor (1895*). 02 = 0.

* "Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre", Mathematischen Annalen, 46, 1895 ("Contributi alla fondazione della teoria degli insiemi transfiniti").

(Ovvero: Se I  P(A) è una qualsiasi famiglia di sottoinsiemi di un fissato insieme A, tale che I sia finito o numerabile, e che per  i  I l'insieme Ai  A sia finito o numerabile, allora l'insieme è ancora finito o numerabile.

Insomma, sussiste l'identità: 0+0+0+... = 0, che comprende naturalmente i casi particolari 0+n = 0, per  n  N0, 0+0 = 20 = 0, etc..)


Dim. "Immediata", per es. con il procedimento "a serpente", cfr. la figura contenuta nella dimostrazione del teorema (5-3-3), cap. V degli Elementi..., che di seguito ripresentiamo per comodità del lettore:

Con riferimento a un diverso ordinamento dei vari "segmenti diagonali" in cui si ripartisce la matrice infinita (andando sempre dall'alto verso il basso, e non una volta in un senso, una volta nell'altro, come sopra), Cantor fornisce una ben precisa formula: l'elemento di posto (i,j) nella matrice diventa l'elemento di posto k = i + nella successione (informazioni sulla cardinalità dell'insieme di tutte le possibili "numerazioni" di un insieme numerabile, che coincide proprio con c, si trovano nel par. 5-8 del citato cap. V).
C2 - Porisma di C1. Il campo Q dei numeri razionali è numerabile, = 0.
Dim. Si tratta di un'applicazione diretta di C1. A partire dagli indici della matrice esibita nella dimostrazione precedente (basta scrivere in luogo di ij la corrispondente frazione i/j), si trova la seguente numerazione di Q+ (i numeri razionali positivi; è chiaro che basta analizzare questo caso, i numeri razionali negativi potendosi semplicemente "intercalare" ai corrispondenti positivi nelle numerazioni seguenti, e lo 0 mettere per primo, o in effetti dove si vuole):

1, , 2, 3, , , , , 4, 5, , ... .

Invece, secondo la predetta numerazione originalmente proposta da Cantor:

1, , 2, , 3, , , , 4, , 5, ... .


[Conseguenza diretta del I Teorema di Cantor è anche il seguente asserto: "Se A è un qualsiasi insieme finito o numerabile diverso dal vuoto, allora l'insieme delle parole costruite su A, W(A) = A0A1A2A3... , è certamente numerabile". Diamo di questo teorema un'istruttiva dimostrazione che usa il teorema fondamentale dell'aritmetica. Supponiamo che sia addirittura A = N, e costruiamo un monomorfismo di W(N) in N al seguente modo. Detta p1, p2,... la successione dei numeri primi, associamo alla parola vuota il numero 1; ad ogni stringa di lunghezza 1 di W(N), e quindi a un numero naturale m, il numero p1m, ossia 2m; ad ogni stringa di lunghezza 2, cioè a una coppia ordinata di numeri naturali (m,n), il numero p1mp2n, ossia 2m3n, e così via. E' manifesto che si ottiene in tal guisa un monomorfismo non suriettivo di W(N) in N, e che la sua immagine è costituita, oltre che dal numero 1, da tutti i numeri naturali maggiori di 1 tali che la relativa fattorizzazione canonica come prodotto di numeri primi veda la presenza effettiva di un "segmento iniziale" della detta successione dei numeri primi (vale a dire, ci deve essere il fattore 2, e se c'è il fattore 7 ci devono essere anche il 3 e il 5, etc.). W(N) è quindi numerabile in quanto isomorfo a un sottoinsieme infinito di N, ed è possibile fare ricorso al ragionamento illustrato nella nota successiva all'enunciato del I Teorema di Cantor-Bernstein. Nel caso di un insieme A qualsiasi soddisfacente alle ipotesi del teorema oggetto della nostra attuale attenzione, se esso è infinito la conclusione è ormai stabilita, in quanto A è per ipotesi isomorfo ad N, e W(A) è isomorfo a W(N). Se invece A è finito e non vuoto, si fissi una sua immersione come un segmento iniziale di N, sicché W(A) si potrà pensare come un sottoinsieme di W(N). Ora W(N) si può rappresentare come un sottoinsieme di N, in base al monomorfismo canonico sopra costruito, sicché W(A) sarà lui stesso rappresentabile come un sottoinsieme di N. Ma è chiaro che per ipotesi W(A) è infinito, sicché tale sottoinsieme sarà anch'esso canonicamente isomorfo ad N, in virtù del medesimo ragionamento dianzi menzionato, d'onde la conclusione desiderata.]
Nota 1. Quella precedente non è esattamente la prima dimostrazione di C2 elaborata da Cantor, che risale al 1874 ("Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen", Crelles Journal für Mathematik, 77, 1874 - "Su una caratteristica dell'insieme di tutti i numeri reali algebrici"; si è pensato di far cosa utile mettendo a disposizione in rete, punto 13'' in: http://www.dipmat.unipg.it/~bartocci/listamat.htm, le poche pagine da cui è costituito questo importante articolo, che segna una svolta nella storia del pensiero relativo ai problemi dell'infinito. Secondo M. Kline: <>, loc. cit., pp. 1161-1162). Sia x  Q+ un qualsiasi numero razionale positivo, scriviamolo canonicamente nella forma x = , dove m ed n sono numeri naturali primi tra loro. Introduciamo la funzione  : Q+N, (x) = m+n [(x) viene detta l'altezza del numero razionale x]. E' chiaro che l'immagine di  è l'insieme di tutti i numeri naturali maggiori o uguali di 2, e che il dominio di  resterà pertanto ripartito al seguente modo: Q+ = °(2)°(3)°(4)°(5)... . La conclusione risulta quindi dalla banale constatazione che ogni blocco °(k) (k  N, k  2), è finito. Ordinati quindi gli elementi di °(k) secondo l'ordinamento naturale di Q+, ecco la numerazione che ne risulta:

2 = 1+1  °(2) = 

3 = 2+1 = 1+2  °(3) = ,

4 = 3+1 = 1+3  °(4) = ,

5 = 4+1 = 1+4 = 3+2 = 2+3  °(5) = , , ,

...


Q+ = 1, , 2, , 3, , , , 4,....

Si ritrova manifestamente la stessa numerazione riportata alla fine della dimostrazione precedente, e in effetti, se ci si fa caso, nonostante le apparenze, il ragionamento è lo stesso. Uno simile, introducente un analogo concetto di "altezza" per un qualsiasi numero reale algebrico, venne utilizzato da Cantor per dimostrare la successiva più generale asserzione C3, un passo essenziale verso il vero obiettivo dell'articolo del 1874, elencato di seguito come C8.


Nota 2. Un'altra dimostrazione di C2, di origine ignota allo scrivente. Si scriva il numero razionale x = , dove m ed n sono ancora supposti essere numeri naturali primi tra loro, nella forma x = , i termini p, q essendo i fattori primi di m ed n rispettivamente (eventualmente p1 = 1, h1 = 1, se m = 1, o q1 = 1, k1 = 1, se n = 1), e si introduca la corrispondenza  : Q+N che manda x in . E' abbastanza agevole verificare che si tratta di un corrispondenza biunivoca tra Q+ ed N.
C3 - Porisma di C1. Il campo Ra dei numeri reali algebrici è numerabile.
Dim. Non difficile, almeno con il senno di poi, se ne dà un cenno nel paragrafo 5 della citata appendice. Si ribadisce peraltro che la dimostrazione originale di C3, facente ricorso al concetto di "altezza", si trova nelle pagine dell'articolo del 1874 disponibili in rete.
C4 - II Teorema di Cantor (1891*). > 0.

* "Über eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre", Jahresbericht der Deutsche Mathematiker-Vereinugung, vol. I, 1890-91 ("Su una questione elementare della teoria delle varietà", Rapporto annuale dell'Unione Matematica Tedesca).


Dim. Facile, via il teorema delle funzioni caratteristiche - per cui P(N) è isomorfo ad H(N,2), e quindi = 2 - e il procedimento antidiagonale di Cantor. Se f1, f2, f3, ... è una successione di funzioni caratteristiche, tanto per immaginarcele con una figura:

(nella riga corrispondente ad fi si leggono in successione i valori assunti da fi, prima su 1, poi su 2, etc., ad es., f1(1) = 0, f1(2) = 0, f1(3) = 1,...), allora f, definita ponendo 1 al posto dello zero che appare quale primo elemento cerchiato nella "diagonale" della figura, 1 al posto del secondo zero, 0 al posto dell'1 che appare quale terzo elemento, insomma f = 1 , 1, 0, etc., è una funzione caratteristica di N che non può coincidere con alcuna delle fi (f ed fi differiranno, per costruzione, almeno quando valutate nell'elemento diagonale che è stato appositamente modificato).


C5 - Porisma di C4. c > 0.
Dim. C5 si ottiene abbastanza agevolmente da C4 una volta che si analizzino approfonditamente le caratteristiche dell'espansione in serie di un numero reale (modalità di "rappresentazione" di un numero reale). Cominciamo con la più familiare scrittura in base 10, che utilizza appunto le 10 cifre decimali 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (indicheremo il loro insieme con C, e con I quello dei numeri reali compresi tra 0 e 1; secondo i simboli standard dell'analisi matematica,

I = [0,1]). Esiste una corrispondenza 10 tra l'insieme delle successioni H(N,C) ed I, 10 : H(N,C)  I, che associa ad ogni successione di cifre 1,2,3,... il numero reale x = 0,123... . E' chiaro che 10 è suriettiva, perché ogni numero x  I può scriversi come x = 0,123... (l'asserzione comprende anche i "casi limite" 0 = 0,0000... e 1 = 0,9999...). 10 non è però biunivoca, il numero razionale 1/2 potendosi scrivere ad es. sia come 0,5000... , sia come 0,49999... . E' abbastanza agevole provare però che la fibra di 10 sopra un numero reale

x  I ha al massimo due elementi, tale circostanza presentandosi se e soltanto se x è un numero razionale compreso strettamente tra 0 e 1, al cui denominatore possa apparire una potenza di 10. Scegliendo per ciascuna di queste "eccezioni" la rappresentazione in cui non compaiono tutti 0 da un certo punto in poi (altrimenti si parla di una successione "definitivamente nulla"), ecco che si ottiene una corrispondenza biunivoca senza eccezioni: due numeri reali del tipo considerato sono diversi se e soltanto se le loro dette rappresentazioni "canoniche" sono diverse (e per verificare se un numero è minore o maggiore dell'altro basta seguire l'ordinamento lessicografico, confrontare cioè le relative cifre decimali da sinistra verso destra). Le considerazioni precedenti si possono estendere a ogni base numerica, n cifre anziché 10 (n un qualsiasi numero intero maggiore di 1), in particolare alla numerazione in base 2, che fornisce il desiderato collegamento logico con C4. Infatti per il teorema delle funzioni caratteristiche P(N) è naturalmente isomorfo a H(N,X), dove X = 0,1 (poniamo adesso questo X in luogo di 2 = 1,2), e si interpreti 0 come "vero", 1 come "falso" (0 = non appartiene, 1 = appartiene). Quanto precede (si introduca adesso la funzione 2 : H(N,X)  I) dimostra che ogni numero reale in I ammette una rappresentazione canonica binaria (i.e., non definitivamente nulla, ad eccezione dello 0), sicché in conclusione i numeri reali di I appaiono corrispondere biunivocamente ai sottoinsiemi di N, ad eccezione degli insiemi finiti diversi dal vuoto (il  corrisponde allo 0). Orbene, se i numeri reali in I fossero un insieme numerabile, allora sarebbe altrettanto numerabile l'insieme di tutti i citati sottoinsiemi di N, ma se a questi si aggiungono gli insiemi mancanti, una totalità manifestamente numerabile in virtù di C1, si otterrebbe infine un insieme ancora numerabile, mentre si è dimostrato (C4) che l'insieme di tutti i sottoinsiemi di N è non numerabile: l'assurdo prova l'asserto.
C6 - Corollario dell'argomentazione precedente. c = 2.

(E' facile persuadersi che = , cfr. la figura 11-5-3 nel cap. III, parte II, degli Elementi... - la differenza tra I e l'interno di I è nel presente contesto chiaramente irrilevante.)


Nota 2. La dimostrazione che Cantor offre di C5 nel 1891 utilizza direttamente la scrittura decimale, e un procedimento che possiamo chiamare ancora antidiagonale: in effetti il collegamento con H(N,X), e quindi con C4, ancorché significativo, non appare strettamente necessario alla sola dimostrazione di C5. Considerata per ogni numero reale x  I la sua rappresentazione decimale canonica, una successione x1, x2,... di elementi di x non può mai esaurire tutto n, perché, se si scrive x1 = 0,111213... , x2 = 0,212223... , etc., il numero reale x = 0,123... non può coincidere con nessuno degli xi, qualora si ponga: 1 = 9 se

11 = 1, 1 = 1 se 11 vale qualsiasi altra cifra diversa da 9, lo stesso si faccia per definire 2 in relazione ad 22, e così via. E' importante osservare che la rappresentazione in tal maniera determinata per il numero x è sicuramente canonica.


Nota 3. Ripetere la dimostrazione di cui alla nota 2 con la numerazione in base 2 richiede qualche speciale accorgimento. In effetti, ragionando esattamente come dianzi, non c'è scelta per la definizione di x a partire dalla successione x1, x2,... se si utilizza il procedimento antidiagonale: 1 non potrà che essere 0 se 11 = 1, e viceversa, con il rischio infine che resti individuata una rappresentazione non canonica, vale a dire con infiniti zeri da un certo punto in poi, senza essere zero. Si può pensare di ovviare alla difficoltà "rimescolando" gli elementi della successione, che diremo "buona" se non presenta tale inconveniente, e "cattiva" in caso contrario (per es. x1 = 0,01111..., x2 = 0,1..., x3 = 0,1..., ... è cattiva, per ogni scelta delle  compatibile con il contesto, e il numero reale x ottenuto con il procedimento antidiagonale coincide con x1), ma ci sembra più agevole procedere nel seguente modo. Nella definizione di x, si ponga senz'altro 1 = 0, qualunque sia il valore di 11, ma si ponga 2 = 0 se 12 = 1, e viceversa. Si definisca poi 3 = 1, mentre per 4 si usi ancora il criterio del valore "opposto" relativamente ad 24. Si torni poi a porre 5 = 0, continuando così ad alternare 0 e 1 nelle cifre di posto dispari, e ad usare il criterio dell'opposto per quelle di posto pari. E' chiaro che si ottiene così un numero reale x, nell'intervallo I, che risponde ai requisiti richiesti. [Naturalmente, quanto esposto ha interesse se si parte in generale da una qualsiasi successione di numeri reali - continuiamo a supporre compresi tra 0 e 1 - e si vuole costruire un numero reale che non appartiene alla successione, cfr. anche la successiva la nota 10. Un'eventuale successione che avesse invece a priori come codominio l'intero insieme dei numeri reali compresi tra 0 e 1 non può manifestamente essere "cattiva": ciò significherebbe infatti che tutti i termini della successione hanno l'elemento diagonale uguale ad 1 da un certo punto in poi, e quindi che quelli che hanno elemento diagonale uguale a 0 sarebbero soltanto un numero finito, ciò che è manifestamente falso.] Continuando a meditare sull'utilizzo di due unici "segni", è pure chiaro che la dimostrazione della non numerabilità dei numeri reali si può ottenere ancora assai facilmente nel seguente modo. Se la totalità dei numeri reali fosse numerabile, dovrebbe esserlo a fortiori quella dei numeri reali compresi tra 0 e 1 le cui uniche cifre decimali siano 1 o 2, quindi numeri del tipo 0,121122111222... etc.. E' chiaro che codesto insieme di numeri reali è isomorfo a P(N), il quale non è appunto numerabile per C4 (il ricorso diretto al procedimento antidiagonale nel presente caso non offre nessuna difficoltà). Una "variazione" sul medesimo tema si trova in http://www.dipmat.unipg.it/~bartocci/mat/fraz-cont.doc (si veda in particolare quanto precede la nota 11).
Nota 4. Le precedenti tre dimostrazioni appaiono formalmente alquanto diverse dalla prima che Cantor fornì per C5 nel nominato breve articolo del 1874. La riportiamo succintamente, adattandola alla nostra cornice (I, anziché un intervallo qualsiasi). Vogliamo provare che R non è numerabile, e supponiamo per assurdo che x1, x2,... sia una numerazione di R. Bene, sia xi il primo elemento della successione che cade all'interno di I, e sia x'i il secondo. Supposto per es. xi < x'i, l'intervallo I1 = [xi,x'i] sarà interno ad I, e possiamo ripetere il ragionamento sostituendo I1 ad I. Ovvero, prenderemo i primi due elementi della successione che cadono all'interno di I1, siano xj < x'j, e porremo I2 = [xj,x'j], etc.. Otteniamo così una successione di intervalli (chiusi e limitati!) di R, ciascuno dei quali all'interno del precedente, e tali quindi che la loro intersezione non è vuota in virtù del "postulato di continuità" (cfr. il già citato cap. III, parte II, degli Elementi...). Ogni numero reale x in detta intersezione corrisponde ai requisiti richiesti. La dimostrazione appena presentata ammette la leggera variazione nota come procedimento per tricotomia (cfr. ancora il predetto cap. III, dove la dimostrazione viene ripresa da Giuseppe Scorza Dragoni, Elementi di Analisi Matematica, 3 voll., Ed. Cedam, Padova, 1961; II ed. 1963, vol. I, pp. 77-79). Poiché ritorneremo su questa dimostrazione (note 5 e 10), che ci appare per certi scopi piuttosto importante, ne ripetiamo qui brevemente l'impianto, tra l'altro evitando la restrizione introdotta da Scorza ad elementi interni all'intervallo I. Sia assegnata una qualsiasi successione  : x1, x2,... di elementi di I (non procederemo per assurdo, e quindi non diciamo una numerazione di I; si noti che, in particolare, non assumiamo che gli elementi della successione siano tutti distinti), vogliamo costruire un unico numero reale x  I distinto da tutti gli elementi xi. Bene, si cominci con il considerare x1. Se x1 < 1, si prenda l'intervallo [x1,1], lo si suddivida in tre parti, e si definisca I1 = [a1,b1] = parte media delle tre. Se x1 = 1, si suddivida in tre parti l'intero I, e si definisca ancora I1 come la parte media di queste tre. Consideriamo poi x2. Se x2  I1, si suddivida I1 in tre parti, e si ponga I2 come la parte media di esse. Se invece x2  I1, si proceda come specificato dianzi, se x2 < b1 allora ..., se x2 = b1 allora ... . E' chiaro che nel modo illustrato si ottiene una successione di intervalli (chiusi e limitati) I1  I2  I3 ... , di lunghezza convergente a zero, e tale che x1  I1, x2  I2,... . Ne consegue che l'unico numero reale x che appartiene a tutti gli intervalli Ii è diverso da ogni xi (ma è in I) cvd.
Nota 5. Ci pare istruttivo osservare che la precedente dimostrazione per tricotomia si può riproporre utilizzando una più semplice dicotomia. Assegnata ancora una qualsiasi successione  : x1, x2,... di elementi di I, si cominci ancora con il considerare x1. Se x1 < 1, si prende l'intervallo [x1,1], se ne introduce il punto medio a1, e si definisce I1 = [a1,1]. Se x1 = 1, a1 resta definito come il punto medio di I, e si definisce I1 = [0,a1]. Consideriamo poi x2. Se

x2  I1, si suddivide I1 in due parti, e si prende come I2 la parte superiore. Se invece x2  I1, si procede come specificato dianzi: se x2 < a1 allora ..., se x2 = a1 allora ... . E' chiaro che anche adesso si ottiene una successione di intervalli I1  I2  I3 ... , di lunghezza convergente a zero, e tale che x1  I1, x2  I2,... . Esempi: alla successione 0, 0, 0,... resta associato il numero 1, alla successione 1, 1, 1,... il numero 1/2, alla successione 0, 1, 0, 1,... il numero 3/4.


Nota 6. Il menzionato M. Kline asserisce (loc. cit., p. 1164) che la prima dimostrazione di C5 presentata da Cantor nel 1874 è <
> esposta nel 1891 (e quindi a maggior ragione sarebbero tali le altre due del medesimo "tipo" che abbiamo in precedenza riportato, per tricotomia e per dicotomia), ma ci sembra di poter affermare che si tratta sempre sostanzialmente della stessa argomentazione (a parte il fatto che tutto il risultato si fonda, né potrebbe essere altrimenti, sul postulato di continuità). Un po' come abbiamo già visto accadere per la dimostrazione di C2 contenuta nella nota 1, che è solo in apparenza "più complicata" dell'ostensivo procedimento a serpente (ci imbatteremo più avanti, nota 11, in un'ulteriore manifestazione di tale "fenomeno" psicologico: si potrebbe rammentare che l'abito non fa il monaco, oppure riconoscere che, qualche volta almeno, sì?!). Per persuaderci di ciò, prendiamo le mosse dalla nota 3, introducendo una successione "buona" di elementi di I

x1 = 0,111213... , x2 = 0,212223... , ... , e il numero reale x = 0,123... individuato dalla successione con il procedimento antidiagonale, possiamo scrivere espressivamente i = ii (come dire che le cifre ii non sono tutte uguali a 1 da un certo punto in poi, a meno che non siano proprio tutte uguali a 1, e quindi x sarebbe uguale a zero, ma certo diverso da xi per ogni i, un caso "banale" che escludiamo). Poniamo poi 1 = 0,1 , 2 = 0,12 , 3 = 0,123 , etc., sicché x è il limite della successione monotona crescente i (si tratta di tutti elementi dell'insieme che chiameremo 2 nella successiva nota 7; le rappresentazioni finite degli elementi i non sono manifestamente canoniche). Dividiamo poi I in due parti, introducendone il punto medio 1/2, e considerando i due intervalli (chiusi) [0,1/2] e [1/2,1]. Se 11 = 0, ossia x1  [0,1/2], allora 1 = 1/2, e x  ]1/2,1] = I1 (intervallo semi-aperto inferiormente), se invece 11 = 1, ossia x1  ]1/2,1], allora 1 = 0, e x  [0,1/2] = I2. Si suddivida poi I nei quattro intervalli [0,1/4], [1/4,2/4 = 1/2], [2/4,3/4], [3/4,4/4 = 1]. Se adesso 22 = 0, un caso che si spezza nelle due eventualità disgiunte x2  [0,1/4], x2  ]1/2,3/4], abbiamo 1 < 2 = 1 + 0,01 < x, e x  ]3/4,1] = I11, oppure x  ]1/4,1/2] = I21, a seconda che avessimo stabilito rispettivamente al I stadio del ragionamento x  I1 oppure x  I2. Se invece 22 = 1, un caso che si spezza in altre due eventualità disgiunte x2  ]1/4,1/2], x2  ]3/4,1] (e disgiunte dalle due precedentemente esaminate), allora 2 = 1, ma possiamo ancora introdurre gli intervalli I12 e I22, con si spera manifesto significato dei simboli. Poiché ogni volta che si incontra uno 0 (e lo si incontra per ipotesi infinite volte), l'ampiezza dell'intervallo entro cui cade x si dimezza, ecco che abbiamo descritto x come unico punto di intersezione di una successione decrescente di intervalli, e illustrato l'annunciato collegamento tra dicotomia e procedimento antidiagonale. [Si osservi per finire che gli intervalli in parola non sono attualmente chiusi, e che il principio di continuità non vale in generale per intervalli che non siano chiusi, ma asserire che non vale in generale non vuol dire che esso non valga mai. Esistono casi significativi di successioni di intervalli aperti, o semi-aperti, monotonamente decrescenti a "zero", la cui intersezione non è vuota, ovvero che hanno un unico punto di intersezione, al lettore-studente l'invito a scoprire quali siano questi casi...]
Nota 7. Una settima dimostrazione di C5 viene presentata nel par. 4 dell'appendice citata in esordio (teoremi 4 e 5), e ci sembra oggi la più istruttiva di tutte dal punto di vista "filosofico", in quanto informa che "gap" (che nella detta appendice abbiamo chiamato "sezioni di Dedekind") in uno spazio continuo di I specie numerabile si possono ottenere a partire dall'esistenza di quello (la cui esistenza è "evidentissima") corrispondente al numero razionale 1/3 nel sottospazio ordinato di I (lo indicheremo con il simbolo 2) comprendente tutti quei numeri razionali al cui denominatore si può mettere una potenza di 2 (a parte i casi estremi 0 e 1, sarebbero precisamente quei numeri reali in I che costituiscono ostruzione a che la corrispondenza 2 : H(N,X)  I sia biunivoca). L'osservazione può essere formalizzata nel modo seguente. A ogni numerazione  di IQ rimane univocamente associato un isomorfismo d'ordine () : 2  IQ, e la "sezione" di 2 corrispondente a 1/3 (che in base due si scrive 0,010101...) individua tramite () una sezione di IQ, e quindi un numero reale x  I, che possiamo denominare (1/3), tale che x  Q. La stessa asserzione sussiste palesemente se si sostituisce Ra a Q. [Una curiosità: al variare di  si ottengono in cotal guisa tutti gli elementi di I-Q, o di I-Ra (l'asserto è compatibile con l'esistenza di un'infinità continua di numerazioni di un insieme numerabile), vedi http://www.dipmat.unipg.it/~bartocci/mat/IIcantor.doc.] In chiusura di nota informiamo che il "II teorema di classificazione" (contenuto ancora nel par. 4 della più volte menzionata appendice), essenziale alla conclusione in oggetto, appare essere ancora un risultato di Cantor, che si trova nel par. 9 del citato "Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre" (p. 304 dei Gesammelte Abhandlungen..., o p. 123 di Contributions to the founding..., vedi la successiva nota 11; cfr. anche il teorema 2.5 in Joseph G. Rosenstein, Linear Orderings, Academic Press, New York-London, 1982, p. 26).
Nota 8. Appare doveroso nel presente contesto informativo un cenno alla cosiddetta ipotesi del continuo. Abbiamo visto che il cardinale di P(N), coincidente con 2, è strettamente maggiore di quello di N, e che esso coincide pure con il cardinale dell'insieme dei numeri reali R, sicché viene denominato, per palesi ragioni geometriche, il cardinale del continuo, e si indica con il simbolo c. Ciò premesso, sapendo che 0 < c, appare legittimo domandarsi: esistono dei numeri cardinali intermedi tra questi due cardinali infiniti? Ovvero, in termini suggestivi, esiste qualche insieme che stia tra l'intuizione del discreto e quella del continuo, tra l'aritmetica e la geometria? La domanda può essere riformulata utilizzando il fatto sopra enunciato che l'ordinamento di Card è un buon ordinamento. Tenuto conto di ciò, è possibile introdurre il minimo cardinale infinito non numerabile (il successivo di 0), diciamolo 1, un cardinale tale ovviamente che 1  c, e la questione precedente può essere riformulata nei seguenti termini: c coincide con 1, oppure no? La congettura, avanzata dallo stesso Cantor, che sussista l'identità c = 1 si dice corrispondentemente l'ipotesi del continuo, mentre si dice ipotesi del continuo generalizzata la sua naturale estensione, quando si congetturi che, comunque assegnato un cardinale infinito , il successivo di  sia sempre 2. Che l'interrogativo sia di quelli fondamentali, e "naturali", ai quali bisognerebbe dare risposta presto, era chiaro allo stesso Cantor, che per tutta la parte finale della vita (conclusasi tristemente in un ospedale psichiatrico nel 1918; Cantor era nato a S. Pietroburgo nel 1845, da famiglia tedesca di origine ebraica) cercò una soluzione al problema, e a David Hilbert, che, pose tale questione come prima tra le sue celebri congetture del 1900 (Hilbert ebbe a definire la teoria cantoriana degli insiemi il "paradiso dei matematici"). La questione ha ricevuto (a sorpresa?!) da parte di Kurt Goedel nel 1940 un risultato di "compatibilità" (l'ipotesi del continuo è compatibile con gli altri assiomi della teoria degli insiemi, incluso l'assioma della scelta, noti con la sigla ZFS, dalle iniziali di Ernst Zermelo, Adolf Abraham Halevy Fränkel, Thoralf Skolem; alcuni pongono solo ZF in luogo di ZFS, e introducono ZFC come sigla esprimente l'unione di ZF con l'assioma della scelta - C dall'iniziale di choice), e un risultato di "indecidibilità" da parte di Paul Cohen nel 1963 (sia l'ipotesi del continuo che la sua negazione sono compatibili nel senso dianzi accennato). Informiamo però i lettori che nel sito del grande matematico David Mumford si trova esposto un risultato di Chris Freiling (1986), secondo il quale l'ipotesi del continuo sarebbe necessariamente falsa, ammessi taluni assiomi "intuitivi" di natura probabilistica:

http://www.dam.brown.edu/people/mumford/Papers/Dawning.pdf.


C7 - Corollario (di C5 e di C2). Esiste un'infinità più che numerabile di numeri reali irrazionali.
(Anzi, è chiaro che = c, poiché:

0 < = 0 + = - è questo un caso particolarmente semplice di "assorbimento per somma", cfr. il successivo C12.)


C8 - Corollario (di C5 e di C3). Esiste un'infinità più che numerabile di numeri reali trascendenti.
(Anzi, è chiaro che = c, stesso ragionamento dell'osservazione precedente.)
Nota 9. Come abbiamo già rammentato, era C8 (ossia la questione dei numeri trascendenti, al tempo ancora abbastanza ignota; fu Leonhard Euler nel 1744 a chiamare nel modo oggi comune quei numeri, reali o complessi, che <>) l'autentico obiettivo dell'articolo del 1874 (mentre la questione dei numeri irrazionali affonda viceversa le sue radici sin negli albori della storia della matematica greca). Non va dimenticato infatti che appena l'anno precedente l'articolo di Cantor del 1874 Charles Hermite aveva dimostrato la trascendenza del numero e, ma comunque si era già al corrente, grazie a Joseph Liouville (1844), che tutti i numeri reali della forma sono trascendenti, per ogni scelta delle cifre ai nell'insieme che abbiamo chiamato C nel corso della dimostrazione di C5 (purché ovviamente la serie non sia definitivamente nulla). [Nel presente contesto diventa forse interessante osservare che la totalità dei "numeri di Liouville", che sono contenuti nell'intervallo aperto ]0,1[, è in manifesta corrispondenza biunivoca con l'insieme di tutti i numeri reali appartenenti all'intervallo ]0,1], sicché ha la potenza del continuo. Basta infatti associare al numero di Liouville sopra indicato il numero reale 0,a1a2a3... - questa appena nominata è l'espansione decimale non definitivamente nulla, che come abbiamo visto rimane univocamente associata a un numero reale del tipo in parola.] Bisogna attendere Ferdinand Lindemann (1882) per riuscire a provare finalmente la trascendenza di , congetturata da Adrien Legendre (l'irrazionalità di  era stata invece già dimostrata da Johann Heinrich Lambert nel 1761, mentre Leonhard Euler aveva stabilito quella di e nel 1737), e i risultati indipendenti di Aleksandr Gelfond e Theodore Schneider del 1934 per avere un nuovo teorema generale di trascendenza: sono trascendenti tutti i numeri (reali o complessi) del tipo ab, dove a è un numero algebrico diverso da 0 e da 1, e b è un numero algebrico irrazionale. Ne segue in particolare che pure e, che si dice la costante di Gelfond, è un numero trascendente [Infatti e è una delle determinazioni di (ei)-i = (-1)-i. Se si preferisce, si può partire dalla = i, dalla quale si deduce che è una delle determinazioni di ii, e quindi un numero trascendente in virtù del teorema appena enunciato (da ad e il passo è poi breve, facendo un inverso e un quadrato).], al pari di , che viene chiamato invece la costante di Gelfond-Schneider (talora di Hilbert). Aggiungiamo qualche informazione ulteriore per il lettore curioso di sapere di più sulla questione dei numeri trascendenti, un argomento tra i più difficili, e tuttora parzialmente sconosciuti, dell'intera teoria dei numeri. Prima di tutto, osserviamo che il teorema di Gelfond-Schneider (d'ora in avanti G.S.) non è ovviamente valido se l'esponente è un numero razionale: ()2 = 2, o se la base non è un numero algebrico: = 4. Se si va invece a fare in generale la potenza di un numero trascendente elevato a un numero trascendente (limitiamoci al caso di numeri reali positivi), il risultato può essere vario. Abbiamo già visto per esempio che e è un numero trascendente, ma esistono altre potenze di e che sono numeri razionali. In effetti, data la trascendenza di e, la potenza y = ex, se x è un numero razionale, non può essere un numero algebrico, sicché, se y è un numero algebrico, siamo certi almeno che x = log(y) è un numero irrazionale. Un notevole teorema (1966) di Alan Baker (in versione semplificata) asserisce addirittura che log(y) è sempre trascendente, per un qualsiasi numero algebrico positivo, y  1, e quindi per esempio è un caso di un numero trascendente che elevato a un numero trascendente dà come risultato un numero razionale. Naturalmente il teorema di Baker ha conseguenze sui valori assunti dalla funzione esponenziale: se x è numero algebrico diverso da zero, y = ex non può essere anch'esso un numero algebrico, perché sappiamo che x = log(y), con y  1, sarebbe in questo caso un numero trascendente. La conclusione è che anche numeri del tipo sono trascendenti. Per contro, a tutt'oggi nulla si sa dei numeri ee, e, , né dei numeri e+ o e. A proposito degli ultimi due, dal momento che (x-e)(x-) = x2 - (e+)x +e, si sa soltanto che essi non possono essere entrambi algebrici, perché allora lo sarebbero sia e che , ma non si sa quale dei due sia effettivamente trascendente (e ci si "aspetta" in effetti che lo siano tutti e due!). Quanto precede vale per la funzione log(x), inversa di ex, ma se la base della funzione logaritmo è per esempio 2, o 10, e quindi un numero non trascendente, qualche risultato in proposito si può dedurre facilmente dal teorema di G.S.. Posto infatti y = log2(x), per qualche numero algebrico x, il teorema in oggetto implica subito la trascendenza di y, non appena y sia supposto irrazionale (altrimenti, il risultato dell'elevazione a potenza 2y sarebbe un numero trascendente, e non algebrico). Provare la irrazionalità di log2(x) è in qualche caso semplicissimo, per esempio tale è log2(3) (dalla = 3, per m, n  N, si dedurrebbe 2m = 3n, che è impossibile per il "teorema fondamentale dell'aritmetica"). Insomma, sia il teorema di Baker che il teorema di G.S. sono conferme dell'aspettativa generale che i valori assunti da una funzione trascendente y = f(x) su elementi x razionali o algebrici del proprio dominio siano numeri trascendenti. [Qui f(x) designa diciamo una funzione reale di variabile reale, ma si potrebbe parlare pure di una funzione complessa di variabile complessa. Rammentiamo che f(x) si dice algebrica se esiste un polinomio non nullo F(x,y) nelle due indeterminate x, y, a coefficienti nel campo di cui ci si voglia occupare, tale che F(x,f(x)) sia identicamente uguale a zero, trascendente in caso contrario. Si prova agevolmente che sono funzioni trascendenti la funzione esponenziale, le funzione circolari, le loro inverse, etc.. Stabilire che una data funzione è trascendente è cosa in generale ben diversa, e più semplice, che stabilire che un dato numero è trascendente.] Osserviamo poi che il teorema di Hermite e quello di Lindemann risultano tra loro collegati tramite il teorema di G.S. e la celebre formula di Eulero, dianzi già utilizzata: ei = -1, la quale esclude per lo meno che e e  siano entrambi algebrici. In tal caso infatti l'esponente nel LHS della precedente identità sarebbe sicuramente un numero algebrico (dal momento che i è algebrico, e che il prodotto di numeri algebrici è un numero algebrico), e irrazionale, sicché l'operazione di potenza dovrebbe produrre un numero trascendente, e quindi non -1. Rammentiamo infine che il teorema di G.S. corrisponde a una risposta solo parziale alla VII congettura di Hilbert: si chiedeva lì di dimostrare che ab fosse un numero trascendente tutte le volte che la base è un numero algebrico diverso da 0 e da 1, e l'esponente fosse supposto soltanto un numero irrazionale, non necessariamente algebrico. Insomma, il caso di numeri quali 2 o 2e resta escluso dal teorema di G.S., e ancora attualmente si ignora invero se quelli appena menzionati siano numeri algebrici o trascendenti.
Nota 10. E' opinione diffusa che la dimostrazione offerta da Cantor dell'esistenza di un numero infinito (addirittura "continuo") di numeri trascendenti (la dimostrazione è la stessa che per i numeri irrazionali, che però è facile riconoscere, come si impara sin dalle scuole inferiori, guardando all'inesistenza di un periodo in una loro espansione in serie) sia "non costruttiva" (o "non effettiva"). Ecco per es. come M. Kline riferisce la circostanza: <> (loc. cit., p. 1165), un concetto ribadito più chiaramente da Carlo Toffalori e Patrizio Cintioli: <> (Logica matematica, McGraw-Hill Libri Italia, Milano, 2000, p. 7). Si può aggiungere in consonanza con tali rilievi che la stessa dimostrazione di non numerabilità effettuata "per assurdo" ha suscitato in taluni studiosi un senso di insoddisfazione, secondo noi però ingiustificato. E' infatti possibile enunciare l'essenza di C5, e quindi dei corollari C7 e C8, in forma assolutamente "positiva": comunque data una successione  : N  I, è possibile costruire "effettivamente" un numero reale x  I tale che

x  Im() (sono state in precedenza introdotte in maniera esplicita diverse funzioni

f : H(N,I)  I tali che    H(N,I)  f()  Im() - un po' l'opposto di ciò che accade per le cosiddette "funzioni di scelta", vedi (5-5-3) nel cap. V degli Elementi...). Sottolineiamo che:

1 - il teorema appena enunciato vale per ogni successione, non necessariamente composta da elementi distinti (cfr. nota 4; per es., usando la dicotomia, alla successione  = 0, 0, 0,... resta associato f() = 1; se  = 1, 1, 1,... allora f() = 1/2; se  = 0, 1, 0, 1,... allora f() = 3/4);

2 - C7 e C8 sono immediate conseguenze del teorema (e di C2 e di C3, rispettivamente), quando esso venga applicato a una successione  tale che Im() coincida o con IQ o con IRa;

3 - C5 è un semplice corollario del teorema in parola, mediante un ragionamento per assurdo.

Un'ulteriore dimostrazione "costruttiva" di C7 e C8 era già stata data peraltro nella nota 7, sicché le osservazioni con cui abbiamo iniziato la nota non ci sembrano interamente motivate. Al massimo, si potrebbe obiettare non tanto alle dimostrazioni in discorso, quanto all'effettiva costruibilità di una numerazione di Ra, per Q potendosi invece ritenere questa ormai scontata (e del resto, come si diceva in apertura di nota, la questione dell'ostensività di tutti i numeri irrazionali viene facilmente risolta mediante una loro espansione in serie). Piuttosto, possiamo riproporre la curiosità presentata verso la fine della nota 7, ma stavolta in forma interrogativa: al variare delle successioni  tali che Im() = IQ (oppure Im() = IRa), l'insieme f() esaurisce tutti gli elementi di I-Q (rispettivamente di I-Ra)?! (Nella domanda f indica una qualsiasi delle funzioni f dianzi costruite; l'asserto appare ancora compatibile con l'esistenza di un'infinità continua di successioni del tipo in parola.)
C9 - III Teorema di Cantor (1878*). c2 = c (iterando, risulta cn = c per ogni numero naturale n).

* "Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre", Crelles Journal für Mathematik, 84, 1878 ("Un contributo sulla teoria delle varietà").


Dim. Si parta dall'identità C6, c = 2. Elevando al quadrato primo e secondo membro, si ottiene (c)2 = (2)2 = (22) = 2 (si veda anche C12).
Nota 11. Quella precedente è la dimostrazione che appare in "Beiträge..." del 1895 (vedi C1). Si tratta dell'ultima ampia memoria dedicata da Cantor alla teoria degli insiemi, pubblicata in due parti recanti il medesimo titolo. [La seconda apparirà nei Mathematischen Annalen del 1897. Oltre naturalmente che nei Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts di Cantor (Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1980 - "Edizione integrale dei saggi di contenuto matematico e filosofico"; si tratta della ristampa dell'edizione pubblicata nel 1932, curata da Zermelo), i "Beiträge..." sono disponibili anche in versione inglese: Contributions to the founding of the theory of transfinite numbers (Open Court Publ., 1915; Dover Publ., New York, 1955).] L'argomentazione originale di Cantor del 1878 era apparentemente diversa, e vogliamo presentarla con qualche cura, visto che spesso viene esposta in modo un po' frettoloso. L'idea è comunque semplice. Considerati in luogo dell'intero R l'intervallo I e il "quadrato" I2, un elemento di I2 è dato nella forma (x,y), che possiamo esprimere come (0,123... , 0,123...), introducendo rappresentazioni binarie canoniche di x e di y. Ad (x,y) riusciamo ad associare un unico numero z = F((x,y))  I, semplicemente intercalando le cifre  con le cifre  nell'espansione binaria di z: z = 1234..., dove 1 = 1, 2 = 1, 3 = 2, 4 = 2, etc. (si noti che l'espressione così ottenuta per z è canonica se quelle di x e y lo sono). Abbiamo introdotto quindi una funzione F : I2  I, che è "quasi" biunivoca, ma presenta diversi problemi: per es. il numero z = 0,10010101... non si otterrebbe se non da x = 0,1000... , y = 0,0111... , ma l'espressione così ottenuta per x non è canonica. Si potrebbe analizzare F per bene, studiandone casi singolari e fibre, ma è più agevole procedere come fece lo stesso Cantor (adattiamo alla numerazione binaria le considerazioni che egli espose per la numerazione decimale). Cominciamo con il supporre che né x né y siano 0, sicché nelle  e nelle  appaiono infiniti valori 1. Suddividiamo quindi la successione delle  in blocchi finiti del tipo 000...1, dove l'ultima cifra del blocco è 1, e le precedenti sono tutte 0, e lo stesso facciamo con le cifre  (per es. 0,10010101... si penserebbe come 10010101...). Insomma, detti Ai i blocchi in oggetto (i = 1,2,...), scriviamo x nella forma x = A1A2A3..., lo stesso facciamo per y, y = B1B2B3..., e quelli che andremo ad intercalare nella definizione di F((x,y)) sono i blocchi A con i blocchi B, non le singole cifre. L'argomentazione si perfeziona facilmente al caso x = 0 o y = 0, o entrambi, e si raggiunge infine la conclusione desiderata: si è costruita una funzione biunivoca F : I2  I [ad es. l'anomalia z = 0,10010101... = 0,10010101... dianzi segnalata viene così risolta, perché F-1(z) = (0,1010101... , 0,001010101...)]. Chiudiamo la nota osservando che il ragionamento del 1878 è in verità identico, nella sostanza, a quello "più semplice" del 1895, visto che nella dimostrazione dell'identità 20 = 0 sempre di un "intercalare" si tratta, quello che darebbe poi nella fattispecie il primo abbozzo imperfetto di dimostrazione (è questa la terza volta nel presente articolo che siamo condotti a fare una precisazione del genere).
Nota 12. C9 ha tra le altre cose l'indubbio pregio di fungere da pietra da paragone onde poter apprezzare meglio la distinzione che è invece possibile operare in altre categorie tra strutture che pure abbiano sostegni equipotenti, vale a dire isomorfi nella categoria . Per es. insiemi di uso comune in matematica, quali R ed R2, oppure R2 ed R3, pur avendo lo stesso numero cardinale in forza di C9, sono supporto naturale di strutture che li rendono non isomorfi nelle categorie di competenza. Un caso importante è quello degli spazi vettoriali (un teorema "facile", che si studia sin dai primordi dell'algebra lineare, prova che non esiste alcune corrispondenza biunivoca tra R2 ed R3 che sia lineare - invarianza della dimensione vettoriale), oppure quello degli spazi topologici (un difficile teorema di Jan Brouwer, 1911, afferma che non esiste alcuna corrispondenza biunivoca bicontinua tra R2 ed R3 - invarianza della dimensione topologica).
Il III Teorema di Cantor estende il I Teorema, dal cardinale 0 al cardinale c. Il risultato si può generalizzare:
C10 - Teorema dell'infinito. Per ogni cardinale infinito , risulta 2 =  (anzi, un numero cardinale è infinito se e soltanto se soddisfa l'identità precedente, a parte i casi banali  = 0 e  = 1).
C11 - Corollario di C10. Per ogni cardinale infinito , e per ogni numero naturale n, risulta n = .
C12 - Corollario di C10 (Assorbimento). Per ogni cardinale infinito , ed ogni cardinale ' tale che 0 < '  , risulta ' =  (assorbimento per prodotto). In particolare poi,  = 2 = 3 = ..., e anche +' =  (assorbimento per somma; qui ' può anche essere posto senza alcun problema uguale a 0). In particolare, se  = '+'', con ' < , allora deve essere necessariamente '' = .
C13 - Corollario di C10 (Semigruppo delle parole). Per ogni cardinale infinito  = , il semigruppo W(A) delle "parole" su A ha lo stesso cardinale  di A: = .
C14 - Corollario di C10 (Parti finite). Se A è un qualsiasi insieme infinito di cardinale , allora l'insieme delle sue parti finite Pf(A) (= insieme dei sottoinsiemi finiti di A) ha lo stesso cardinale  di A: = . Lo stesso vale in particolare, dato un qualsiasi numero naturale n , per Pn(A) = insieme dei sottoinsiemi finiti di A aventi cardinale n, ovvero, come si dice, di ordine n.
C15 - Porisma di C10. Per ogni cardinale infinito , e ogni cardinale '  , risulta 2(')  (')  2 (in particolare:  = 2).
(Ulteriori conseguenze di C10 si trovano nel già menzionato par. 5-8 del cap. V degli Elementi... .)
Così come C1 si può estendere a C10, altrettanto accade per C4.
C16 - II Teorema di Cantor-Bernstein. L'insieme delle parti P(A) di un qualsiasi insieme A (finito o infinito, compreso il caso dell'insieme vuoto) è strettamente maggiore di A, ovvero > .
Nota 13. C16 si trova a volte indicato come teorema di Schröder-Bernstein, in conformità alla circostanza che Cantor non avrebbe mai dimostrato tale asserto in modo completo e in piena generalità (vale a dire, non soltanto "congetturato"), con l'effetto però di celebrare, assieme alla dimostrazione che si ritiene esauriente effettuata da Felix Bernstein nel 1897, un tentativo di dimostrazione di Ernst Schroeder dello stesso anno, che viene ritenuto "imperfetto". Il buffo è che il teorema in questione sarebbe stato dimostrato da Richard Dedekind addirittura nel 1887, ma la relativa dimostrazione non fu pubblicata fino al 1932 (in un'edizione delle opere complete dell'illustre matematico). Resta il fatto che il nome di Dedekind non viene di solito associato all'enunciato in questione, e che forse sarebbe allora meglio ricordare tutti questi matematici, parlando così del teorema di Cantor-Dedekind-Schröder-Bernstein.


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