Colégio pedro II campus são cristóVÃo III 3ª SÉrie – matemática II – prof. Walter tadeu




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COLÉGIO PEDRO II - CAMPUS SÃO CRISTÓVÃO III

3ª SÉRIE – MATEMÁTICA II – PROF. WALTER TADEU

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Pirâmides – 2013 - GABARITO

1. (UNIRIO) Um prisma de altura H e uma pirâmide têm bases com a mesma área. Se o volume do prisma é a metade do volume da pirâmide, a altura da pirâmide é:


a) H/6 b) H/3 c) 2H d) 3H e) 6H
Solução. Escrevendo a fórmula dos volumes e considerando H’ a altura da pirâmide, temos:
.
2. (PUC) Uma pirâmide regular de base hexagonal é tal que a altura mede 8cm e a aresta da base mede . O volume dessa pirâmide, em centímetros cúbicos, é:

a) b) c) d) e)


Solução. A área da base da pirâmide é a área de seis triângulos equiláteros com lado igual à aresta do hexágono. Calculando essa área e o volume, temos:
.
3. (PUC) A base de uma pirâmide reta é um quadrado cujo lado mede . Se as arestas laterais da pirâmide medem 17cm, o seu volume, em centímetros cúbicos, é:
a) 520 b) 640 c) 680 d) 750 e) 780
Solução. A altura da pirâmide é calculada com a relação de Pitágoras no triângulo retângulo de hipotenusa 17cm com catetos a altura e a metade da diagonal da base.

.
4. (UFF) A grande pirâmide de Quéops, antiga construção localizada no Egito, é uma pirâmide regular de base quadrada, com 137m de altura. Cada face dessa pirâmide é um triângulo isósceles cuja altura relativa à base mede 179m. A área da base dessa pirâmide, em m2, é:
a) 13272 b) 26544 c) 39816 d) 53088 e) 79 432
Solução. De acordo com os dados, h = 137m e g = 179m. Calculando a metade da aresta da base (L/2) e calculando a área da base, temos:

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5. (Vunesp) Em cada um dos vértices de um cubo de madeira se recorta uma pirâmide AMNP, onde M, N e P são os pontos médios das arestas, como se mostra na figura. Se V é o volume do cubo, o volume do poliedro que resta ao retirar as 8 pirâmides é igual a:
a) b) c) d) e)
Solução. Considere L a aresta do cubo. O corte MNP determina uma pirâmide cuja base é um triângulo retângulo isósceles de catetos L/2 e altura também L/2.

Logo, o volume dessa pirâmide é: .

São retiradas oito pirâmides com esse volume. O sólido resultante terá como volume a diferença entre o volume do cubo e o volume das oito pirâmides.
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6. Uma forma de gelo, como a da figura, tem a forma de tronco de pirâmide, de bases retangulares, com as áreas das bases maior e menor indicadas. (Considere )
a) Qual a quantidade de água, em mililitros, necessária para encher completamente essa forma de gelo?
Solução. Utilizando a fórmula do volume do tronco de pirâmide, temos:
.
b) Sabendo-se que, ao congelar, o volume de água aumenta em 8%, qual o volume de gelo, em cm3, que teremos após o congelamento?
Solução. Com o aumento de 8%, o volume após o congelamento será (1,08).(28,62) = 30,91 cm3.
7. (PUC) Um tronco de pirâmide de bases quadradas tem 2814cm3 de volume. A altura do tronco mede 18cm e o lado do quadrado da base maior mede 20cm. Então, o lado do quadrado da base menor mede:
a) 8cm b) 6cm c) 3cm d) 12cm e) 14cm
Solução 1. Utilizando a fórmula do tronco, temos:
.
Solução 2. Considerando a parte superior do tronco uma pirâmide de mesma base que a base menor do tronco e altura h, aplicamos a relação entre os volumes das pirâmides maior e menor:
.
Pela pesquisa de raízes, L = 3 é uma solução. As outras seriam:


3

1 0 – 469 1380




1 3 – 460 0


L2 + 3L – 460 = 0 => (L + 23).(L – 20) = 0 => L = – 23 ou L = 20.
Não pode ser L = – 23 (negativo), nem L = 20(aresta maior). Logo, L = 3cm.

8. (FUVEST) Um telhado tem a forma da superfície lateral de uma pirâmide regular, de base quadrada. O lado da base mede 8m e a altura da pirâmide 3m. As telhas para cobrir esse telhado são vendidas em lotes que cobrem 1m2. Supondo que possa haver 10 lotes de telhas desperdiçadas (quebras e emendas), o número mínimo de lotes de telhas a ser comprado é:


a) 90 b) 100 c) 110 d) 120 e) 130
Solução. O valor da altura da face (g) é: . A área lateral corresponde ao telhado: .

Logo serão utilizados 80 lotes. Considerando a compra de 10 lotes a mais para a s perdas, serão comprados, no mínimo, 80 + 10 = 90 lotes.

9. (UFC) Um tetraedro regular tem arestas medindo . Então a medida de suas alturas é igual a:


a) 1/2 cm b) 1 cm c) 3/2 cm d) 2 cm e) 5/2 cm
Solução. A altura da face, g, é a altura de um triângulo equilátero e o apótema da base, m, é a terça parte da altura também de um triângulo equilátero. Temos:
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10. Considere uma pirâmide regular, de altura 25m e base quadrada de lado 10m. Seccionando essa pirâmide por um plano paralelo à base, à distância de 5m desta, obtêm-se um tronco de pirâmide.


a) Determine o volume desse tronco. b) Calcule a razão entre o volume das duas pirâmides resultantes.
Solução. Se o plano está a 5m da base, então a altura da pirâmide superior será h = 25 – 5 = 20m.
a) Calculando o volume v da pirâmide superior através da relação de proporcionalidade entre volumes e dimensões, temos:
.
b) A razão entre os volumes será: .


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