Universitetin adı adau




Yüklə 241.9 Kb.
tarix25.04.2016
ölçüsü241.9 Kb.

  1. Universitetin adı ___________ADAU___________________________

  2. FakьltY: İnformasiya texnologiyaları, aqromьhYndislik vY enerğetika

3. Kafedra: ____ Aqrar Fizika vY riyaziyyat________________________

4. FYnn: __ _______ Riyaziyyat _______________________________

5. MьhazirYзi: f.r.e.n. b/m. Abbasov Zahid MYhYmmYd oğlu_____________
GYncY - 2010

ЏdYbiyyat



  1. R.MYmmYdov. “Ali riyaziyyat kursu” I, II vY III hissY. Bakı 1974.

  2. S.N.MYsimova. “Ali riyaziyyatın Ysasları”. Bakı. 2009.

  3. В.С.Шапачев. «Высшая математика». Москва». Высшая школа» 1990.

Mцvzu 15. İbtidai funksiya vY qeyri-mьYyyYn inteqral. Qeyri-mьYyyYn inteqralın Ysas xassYlYri. Џsas inteqral cYdvYli

İbtidai funksiya vY qeyri-mьYyyYn inteqral
1. Kvadrat ьзhYdlinin daxil olduğu funksiyalın inteqrallarının hesablanması.

2. DYyişYnin YvYz olunması, hissY-hissY inteqrallama dьsturunu mьYyyYn vY geniş tYhlil etmYk.


Tutaq ki, hYr hansı funksiyası verilmişdir. ElY funksi-yasını tapmaq tYlYb olunur ki, onun tцrYmYsi -Y bYrabYr olsun, yYni .

TYrif 1. ЏgYr parзasının bьtьn nцqtYlYrindY bYrabYrliyi цdYnYrsY, onda funksiyasına funksiyasının ibtidai funksiyası deyilir.

Teorem. ЏgYr vY – eyni bir funksiyasının parзasında ibtidai funksiyalarıdırsa, onda onların fYrqi sabit YdYdY bYrabYrdir.

İsbatı. İbtidai funksiyanın tYrifinY YsasYn

, (1)

eyniliklYri parзasının istYnilYn x nцqtYsi ьзьn цdYnilir. ЏgYr



(2)

qYbul etsYk, onda (1) bYrabYrliklYrinY YsasYn



olduğundan parзasından gцtьrьlmьş istYnilYn x ьзьn olar, bu bYrabYrlikdYn isY -in sabit olması alınır.



parзasında kYsilmYz vY diferensiallanan funksiyasına Laqranj teoremini tYtbiq edYk. Laqranj dьsturuna YsasYn parзasının ixtiyari x nцqtYsi ьзьn

bYrabYrliyi doğrudur, burada .



olduğundan , yaxud

. (3)

BelYliklY, funksiyası parзasının istYnilYn x nцqtYsindY YdYdinY bYrabYr qiymYt alır. Bu isY funksiyasının parзasında sabit olması demYkdik. sabitini C ilY işarY edYrYk, (2) vY (3) bYrabYrliyindYn alarıq ki,

.

Bu teoremdYn alınır ki, YgYr verilmiş funksiyasının hYr hansı bir ibtidai funksiyası tapılmışdırsa, onda ьзьn istYnilYn başqa ibtidai funksiya şYklindY olar, burada .

TYrif 2. ЏgYr funksiyası ьзьn ibtidai funksiyadırsa, onda ifadYsinY funksiyasının qeyri-mьYyyYn inteqralı deyilir vY simvolu ilY işarY edilir. BelYliklY, tYrifY gцrY YgYr olarsa, onda

olar. Burada inteqralaltı funksiya, dx inteqralaltı ifadY adlanır. DemYli, qeyri-mьYyyYn inteqral funksiyaları ailYsindYn ibarYtdir. HYndYsi olaraq qeyri-mьYyyYn inteqral elY YyrilYr зoxluğudur (ailYsidir) ki, bu YyrilYrdYn hYr biri digYrindYn цzьnY paralel olaraq yuxarı vY ya aşağı (yYni OY oxu boyunca) kцзьrmY nYticYsindY alınır. Qeyd edYk ki, parзasında kYsilmYz funksiyasının ibtidai funksiyası (demYli, qeyri-mьYyyYn inteqralı) var. Verilmiş funksiyasının ibtidai funksiyasını tapmağa funksiyasını inteqrallamaq deyilir.

TYrif 2-dYn alınır ki:

1. Qeyri-mьYyyYn inteqralın tцrYmYsi inteqralaltı funksiyaya bYrabYrdir, yYni olarsa, onda

. (4)

2. Qeyri-mьYyyYn inteqralın diferensialı inteqralaltı ifadYyY bYrabYrdir:

(5)

3. HYr hansı bir funksiya diferensialının qeyri-mьYyyYn inteqralı hYmin funksiya ilY ixtiyari sabitin cYminY bYrabYrdir:



.
Qeyri-mьYyyYn inteqralın xassYlYri
Teorem 1. İki vY ya bir neзY funksiyanın cYminin qeyri-mьYyyYn inteqralı onların inteqrallarının cYminY bYrabYrdir

. (1)

Teorem 2. Sabit vuruğu inteqral işarYsi xaricinY зıxarmaq olar, yYni olarsa, onda

. (2)

Qeyri-mьYyyYn inteqralı hesablayarkYn aşağıdakı qaydaları nYzYrY almaq faydalı olur.

ЏgYr olarsa, onda

1.

2.

3.

  1. İnteqrallar cYdvYli


1. ( ). (Burada vY digYr dьsturlarda S ixtiyari sabitdir.)

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

11'.

12.

13.

13'.

14.


Mцvzu 16. Qeyri-mьYyyYn iqteqralın tapılması ьsulları

İnteqrallamanın Ysas ьsulları

1. Eyler YvYzlYmYlYrinin kцmYyilY, hYmзinin universal YvYzlYmYlYrinin kцmYyi ilY inteqralları hesablamaq vY geniş tYhlil etmYk.


Verilmiş inteqralı hesablamaq ьзьn, YgYr mьmkьndьrsY, bu vY ya başqa ьsullardan istifadY edYrYk onu cYdvYl inteqralına gYtirib hesablamaq lazımdır.

Daha vacib inteqrallama ьsulları aşağıdakılardır: ayırma ьsulu, dYyişYni YvYzetmY ьsulu vY hissY-hissY inteqrallama ьsulu.

1. Ayırma ьsulu. Bu ьsulun mahiyyYti ondan ibarYtdir ki, inteq­ralaltı funksiya inteqralları asan hesablana bilYn funksiyaların cYmi şYklindY gцstYrilir, sonra isY hYr bir inteqral ayrılıqda hesablanır.

2. DYyişYni YvYzetmY, yaxud YvYzlYmY ьsulu. Tutaq ki, inteqralını tapmaq lazımdır vY ьзьn ibtidai funksiyanın varlığını bilirik, lakin onu bilavasitY tapmağı bacarmırıq.

İnteqralaltı funksiyada

(1)

qYbul edYrYk dYyişYni YvYz edYk; burada kYsilmYz, tцrYmYsi vY tYrs funksiyası olan funksiyadır. Onda . İsbat etmYk olar ki,

(2)

bYrabYrliyi doğrudur. Burada belY hesab edirik ki, inteqralladıqdan son­ra bYrabYrliyinin sağ tYrYfindY t-nin yerinY onun (1) bYrabYrliyindYn tapılmış x ilY ifadYsi yazılacaqdır.

3. HissY-hissY inteqrallama. Tutaq ki, u vY v kYmiyyYtlYri


x-in diferensiallana bilYn funksiyalarıdır. Onda mYlum olduğu kimi uv hasilinin diferensialı

dьsturu ilY hesablanır. Bu bYrabYrliyin hYr iki tYrYfini inteqrallamaqla



,

yaxud


alarıq. Axırıncı dьstura hissY-hissY inteqrallama dьsturu deyilir. Bu dьsturu tYtbiq etmYk o halda Ylverişlidir ki, verilYn inteqralda inteqralaltı ifadYni u vY dv kimi iki vuruğun hasili şYklindY elY gцstYrmYk mьmkьndьr ki, dv diferensialına gцrY v funksiyasını tapmaq vY inteqralını hesablamaq inteqralını bilavasitY hesablamaqdan asan olsun.

Kvadrat ьзhYdlinin daxil olduğu bYzi

funksiyaların inteqrallanması


I. Aşağıdakı inteqrala baxaq

.

MYxrYcdYki ьзhYdlini зevirib, kvadratlar cYmi vY ya fYrqi şYklindY gцs­tYrYk:



,

burada


işarY edilmişdir. -nın işarYsi sol tYrYfdY duran ifadYnin mьsbYt vY ya mYnfi, başqa sцzlY ьзhYdlisinin kцklYrinin kompleks vY ya hYqiqi olmasından asılı olaraq gцtьrьlьr .

BelYliklY, inteqralı

şYklini alır. Sonuncu inteqralda YvYzlYmYsini aparsaq, alarıq



Bu isY cYdvYl inteqralıdır (11' vY 12-ci dьsturlara bax).



II. NisbYtYn ьmumi şYkildY olan

inteqralını nYzYrdYn keзirYk. İnteqralaltı funksiyada eynilik зevirmYsi aparaq:



Axırıncı inteqralı iki inteqralın cYmi şYklindY gцstYrYk vY sabit vuruqları inteqral işarYsi xaricinY зıxaraq:



Burada ikinci inteqral inteqralıdır. Birinci inteqralda isY gYbul edYrYk dYyişYni YvYz edYk, onda vY



BelYliklY,



III. Aşağıdakı



inteqralına baxaq. I bYnddYki зevirmYlYrin kцmYyi ilY bu inteqral aşağıdakı cYdvYl inteqrallarından birinY gYtirilir (cYdvYldY 13' vY 14 dьsturuna bax):



olduqda , olduqda isY .

IV. İndi isY



şYklindY olan inteqrallara baxaq. Bu inteqrallar II bYnddYki зevirmYlYrY oxşar зevirmYlYrin kцmYyi ilY hesablanır. Doğrudan da,





Alınmış inteqrallardan birincinY YvYzlYmYsi tYtbiq etsYk onda vY



.

İkinci inteqrala isY bu paraqrafın III bYndindY baxmışıq.


Mцvzu 17. Rasional kYsrlYr. SadY rasional kYsrlYr vY

onların inteqrallanması

  1. Rasional irrasinal ifadYlYrin inteqrallarını mьYyyYn etmYk.

  2. Rasional kYsrin sadY kYsrlYrY ayırması

  3. SadY irrasionallıqların inteqrallanması

  • İstYnilYn rasional funksiya iki зoxhYdlinin nisbYtindYn ibarYt rasional kYsr şYklindY olur. MьhakimYnin ьmumiliyini azaltmadan, bu зoxhYdlYrinin ortaq vuruqlarının olmadığını fYrz edY bilYrik.


SurYtinin dYrYcYsi mYxrYcinin dYrYcYsindYn kiзik olan kYsrlYr dьzgьn, Yks halda isY dьzgьn olmayan kYsrlYr adlanır.

Dьzgьn olmayan kYsrin surYtini mYxrYcinY bцlYrYk (зoxhYdlilYrin bцlьnmYsi qaydasına YsasYn) onu mьYyyYn bir зoxhYdli ilY dьzgьn kYsrin cYmi şYklindY gцstYrmYk olar:



,

burada – зoxhYdli, isY dьzgьn kYsrdir.

TYrif. Aşağıdakı şYkildY olan dьzgьn kYsrlYrY uyğun olaraq I, II, III vY IV nцv sadY kYsr deyilir:

I.

II. (k mьsbYt tam YdYddir vY k≥2),

III. (mYxrYcin kцklYri kompleks YdYdlYrdir, yYni ),

IV. (k mьsbYt tam YdYddir vY k≥2,mYxrYcin kцklYri kompleks YdYdlYrdir).

I, II vY III nцv sadY kYsrlYrin inteqrallanması зYtin olmadığından onları izah etmYdYn verY bilYrik:

I.

II.



III.







(bax §5).

IV.



Burada birinci inteqral YvYzlYmYsi tYtbiq edilmYklY hesablanır. Doğrudan da





İkinci inteqralı ilY işarY edYk vY aşağıdakı kimi зevirYk:



burada


qYbul edilmişdir (şYrtY YsasYn mYxrYcin kцklYri kompleks YdYdlYrdir, demYli, ). Sonra isY hesablamanı belY aparırıq:





(1)

Axırıncı inteqralı aşağıdakı kimi зevirYk:





Alınmış inteqralı hissY-hissY inteqrallayaraq:



Bu ifadYni (1) bYrabYrliyindY yerinY yazaq:







Sağ tYrYfdY dY şYklindY inteqralı var, lakin inteqral­altı funksiyanın mYxrYcinin dYrYcYsi bir vahid kiзikdir, yYni k-1-dir. BelYliklY, inteqralını inteqralı ilY ifadY etdik.

Bu qayda ilY davam etmYklY, mYlum inteqrala gYlib зıxarıq:



t vY m-in yerinY onların ifadYlYrini yazsaq IV inteqralının x vY verilmiş A, B, p, q YdYdlYri vasitYsi ilY ifadYsini alarıq.
Rasional kYsrin sadY kYsrlYrY ayırması

Tutaq ki, dьzgьn rasional kYsri verilmişdir. FYrz edYk ki, surYt vY mYxrYcdYki зoxhYdlilYrin Ymsalları hYqiqi YdYdlYrdir vY kYsr ixtisar olunmayandır (yYni surYt vY mYxrYcin ortaq kцklYri yoxdur).

Teorem 1. Tutaq ki, mYxrYcin k dYfY tYkrarlanan kцkьdьr, yYni . Onda verilmiş dьzgьn kYsrini aşağıdakı kimi digYr iki dьzgьn kYsrin cYmi şYklindY gцstYrmYk olar:

burada A sıfra bYrabYr olmayan sabit, isY dYrYcYsi mYxrYcinin dYrYcYsindYn kiзik olan зoxhYdlidir.

Teorem 2. Tutaq ki, vY burada зoxhYdlisi ifadYsinY bцlьnmьr. Onda dьzgьn kYsrini aşağıdakı kimi digYr iki dьzgьn kYsrin cYmi şYklindY gцstYrmYk olar:

burada зoxhYdlisinin dYrYcYsi зoxhYdlisinin dYrYcYsindYn kiзikdir.

İndi isY dьzgьn kYsrinY 1 vY 2 teoremlYrini tYtbiq edYrYk mYxrYcinin bьtьn kцklYrinY uyğun sadY kYsrlYri ardıcıl olaraq ayıraq. BelYliklY, aşağıdakı nYticYni alarıq.

ЏgYr


olarsa, onda dьzgьn rasional kYsrini aşağıdakı şYkildY yazmaq olar:



. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .





. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



Buradakı Ymsallarını belY bir mьlahizYyY gцrY tYyin etmYk olar: yazılmış bYrabYrlik eynilikdir, ona gцrY dY sağ tYrYfdYki kYsrlYri ьmumi mYxrYcY gYtirdikdYn sonra sağ vY sol tYrYflYrin surYtlYrindY eyni зoxhYdlilYr alarıq. x-lYrin eyni dYrYcYlYrinin qarşısındakı Ymsallarını bYrabYrlYşdirYrYk mYchul Ymsallarını tapmaq ьзьn tYnliklYr sistemini alarıq. Џmsalların tapılmasının bu ьsьlu namYlum Ymsallar ьsulu adlanır.

BelYliklY, gцstYrdik ki, istYnilYn dьzgьn rasional kYsr sadY rasional kYsrlYrin cYmi şYklindY gцstYrilY bilYr.

SadY irrasionallıqların inteqrallanması

I. inteqralına baxaq, burada R – цz arqumentlYrinin rasional funksiyasıdır.

Tutaq ki, k YdYdi kYsrlYrinin ortaq mYxrYcidir. YvYzlYmYsi aparaq. Onda x-ın hYr bir kYsr ьstlь qьvvYti
t-nin tam qьvvYti ilY ifadY olunar vY demYli, inteqralaltı funksiya t-nin rasional funksiyasına зevrilYr.

II. İndi



şYklindY inteqrala baxaq. Bu inteqral



YvYzlYmYsinin kцmYyi ilY t-nin rasional funksiyasının inteqralına gYtirilir, burada k YdYdi kYsrlYrinin ьmumi mYxrYcidir.



( ) şYklindY inteqrallar

BelY inteqrallar aşağıdakı Eyler YvYzlYmYlYrinin kцmYyi ilY yeni dYyişYninin rasional funksiyasının inteqralına gYtirilir.

1. Eylerin birinci YvYzlYmYsi. ЏgYr olarsa,

YvYzlYmYsini qYbul edirik. MьYyyYnlik ьзьn -nın işarYsini mьsbYt gцtьrYk. Onda



olar. Buradan isY x dYyişYni t-nin rasional funksiyası kimi tapılır:



(demYli, dx dY t ilY rasional şYkildY ifadY olunar). Buna gцrY ifadYsi t-nin rasional funksiyası olur



BelYliklY, , x vY dx ifadYlYri t vasitYsi ilY rasional şYkildY gцstYrilir; demYli, verilmiş inteqral t-nin rasional funksiyasının inteqralına gYtirilir.

2. Eylerin ikinci YvYzlYmYsi. ЏgYr olarsa,

YvYzlYmYsini aparaq. Onda (mьYyyYnlik ьзьn qarşısındakı işarYni mьsbYt gцtьrYk)



.

Buradan x rasional funksiya kimi t ilY ifadY olunur:



Gцrьndьyь kimi, dx vY dY t ilY rasional şYkildY


ifadY olunur; ona gцrY x, vY dx-in qiymYtlYrini inteqralında yerinY yazaraq onu t-nin rasional funksiyasının inteqralına gYtirYrik.

3. Eylerin ьзьncь YvYzlYmYsi. Tutaq ki, vY hYqiqi YdYdlYri ьзhYdlisinin kцklYridir.



qYbul edYk. olduğundan







Buradan x dYyişYni t-nin rasional funksiyası kimi ilY ifadY olunur:



.

dx vY dY t ilY rasional ifadY olunduqlarından, verilmiş inteqral t-nin rasional funksiyasının inteqralına gYtirilir.

Qeyd. Eylerin ьзьncь YvYzlYmYsi yalnız olduqda deyil, olduqda da tYtbiq olunur, ancaq зoxhYdlisinin kцklYrinin hYqiqi olmalıdır.


Triqonometrik funksiyaların inteqrallanması
ЏvvYlcY

(1)

şYklindY inteqrala baxaq. GцstYrmYk olar ki, bu inteqral

(2)

YvYzlYmYsinin kцmYyi ilY hYmişY rasional funksiyanın inteqralına gYtirilY bilYr. vY funksiyalarını vasitYsi ilY, demYli t ilY ifadY edYk:



Daha sonra



BelYliklY, , vY dx yeni t dYyişYni ilY rasional ifadY edildilYr. Rasional funksiyanın rasional funksiyası rasional funksiya olduğundan, alınmış ifadYlYri (1) inteqralında yerinY yazıb, rasional funk­siyanın inteqralını alarıq:



Baxılan YvYzlYmY şYklindY olan istYnilYn funksi-yanı inteqrallamağa imkan verir. Ona gцrY dY bYzYn onu «universal triqonometrik YvYzlYmY» adlandırırlar. Lakin praktikada o, зox zaman hYddYn artıq mьrYkkYb rasional funksiyalara gYtirib зıxarır. Ona gцrY dY “universal” YvYzlYmY ilY birlikdY bYzi hallarda mYqsYdY daha tez nail olmağa imkan verYn digYr YvYzlYmYlYri dY bilmYk faydalıdır.

1) ЏgYr inteqral şYklindYdirsY, onda YvYzlYmYsi onu şYklindY inteqrala gYtirir.

2) ЏgYr inteqral şYklindY olarsa, onda o, YvYzlYmYsi ilY rasional funksiya inteqralına gYtirilYr.

3) İnteqralaltı funksiya yalnız -dYn asılı olarsa, onda YvYzlYmYsi hYmin inteqralı rasional funksiya inteqralına gYtirir:

4) ЏgYr inteqralaltı funksiya şYklindY olarsa, ancaq vY yalnız cьt dYrYcYdYn daxildirsY, onda hYmin YvYzlYmYsi tYtbiq olunur, зьnki vY funksiyaları ilY rasional şYkildY ifadY olunur:



5) İndi şYkilli bir inteqrala da baxaq: inteqral işarYsi altında hasili durur (burada m vY n tam YdYdlYrdir). Burada ьз hala baxaq.

a) inteqralında m vY n YdYdlYrindYn heз olmasa biri tYk YdYddir. MьYyyYnlik ьзьn n YdYdinin tYk olduğunu qYbul edYk ( ) vY inteqralı зevirYk:





YvYz edYk, onda vY

olar. Bu isY t-nin rasional fnksiyasının inteqralıdır.

b) , burada m vY n mYnfi olmayan cьt YdYdlYrdir. qYbul edib, triqonometriyadan mYlum olan dьsturları yazaq:

(3)

Bu ifadYlYrinin qiymYtlYrini inteqralda yerinY yazsaq alarıq

QьvvYtY yьksYldib, mцtYrizYlYri aзdıqdan sonra funksiyasının tYk vY cьt dYrYcYli qьvvYtlYrini alarıq. TYk dYrYcYli hYdlYr a) halında gцstYrilYn qayda ilY inteqrallanır, cьt dYrYcYli qьvvYtlYrin dYrYcYsini isY yenY (3) dьsturlarının kцmYyi ilY azaldırıq. Bu qaydanı davam etdirYrYk hYddinY gYlib зıxarıq, bu isY asan inteqrallanır.

c) ЏgYr hYr iki qьvvYt ьstь cьt vY heз olmasa biri mYnfi olarsa, onda yuxarıda gцstYrdiyimiz ьsьl bir nYticY vermir. Bu halda (yaxud ) YvYzlYmYsi Ylverişlidir.

6) Sonda


şYklindY inteqrallara baxaq. Bunlar aşağıdakı dьsturların ( ) kцmYyi ilY hesablanır:









Mцvzu 18. MьYyyYn inteqral. MьYyyYn inteqralın Ysas xassYlYri.

MьYyyYn vY qeyri-mьYyyYn inteqrallar arasında YlaqY
MьYyyYn inteqral

1. MьYyyYn inteqralın Ysas xassYlYrini, Nyuton-Leybnis dьsturunu tYtbiq etmYklY hesablamaq.

2. MьYyyYn inteqralları tYtbiq etmYklY sahYlYrin, hYcmlYrin,qцvs uzunluqlarını tapmaq ьзьn dьsturlar vermYk.
Tutaq ki, parзasında kYsilmYz funksiyası verilmişdir. Bu parзanı bцlgь nцqtYlYri ilY n ixti-yari hissYlYrY bцlYk, belY ki,



, , … ,

işarYlYrini qYbul edYk. parзalarının hYr birindY bir nцqtYsi gцtьrYk ( ) vY aşağıdakı cYmi dьzYldYk



(1)

Bu cYmi -nin xьsusi parзalara verilmiş bцlgьsunY vY aralıq nцqtYlYrinin verilmiş seзiminY uyğun olan parзasında funk­siyası ьзьn inteqral cYmi adlandıracıq.



olduqda inteqral cYminin hYndYsi mYnası aydındır: o oturacaqları vY hьndьrlьk­lYri olan dьzbucaq­ların sahYlYri cYminY bYrabYrdir (şYkil 21).

İndi, , , …, parзaları iзYrisindY Yn bцyьk olanının uzunluğunu



ilY işarY edYk.

TYrif. ЏgYr şYrtindY (1) inteqral cYminin sonlu I limiti varsa, onda bu limit funksiyasının parзasında mьYyyYn inteqralı adlanır vY aşağıdakı kimi işarY edilir

(2)

Bu halda funksiyasına parзasında inteqrallanan funksiya de­yilir. – inteqralaltı funksiya, a vY b YdYdlYri uyğun olaraq inteqralın aşağı vY yuxarı sYrhYdlYri, x isY inteqrallama dYyişYni adlanır.



olduqda inteqralı YdYdi qiymYtcY YyrixYtli trapesiya adlanan fiqurun sahYsinY bYrabYr olur. ЏyrixYtli trapesiya (şYkil 22) yuxarıdan funksiyasının qrafiki, aşağıdan OX oxu vY yanlardan x=a, x=b dьz xYtlYri ilY hьdudlanan fiqura deyilir.

Teorem. ЏgYr funksiyası parзasında kYsilmYzdirsY, onda hYmin parзada inteqrallanandır.


MьYyyYn inteqralın Ysas xassYlYri
1. MьYyyYn inteqral yalnız funksiyasının şYklindYn vY inteq­ralın sYrhYdlYrindYn asılı olur, inteqrallama dYyişYnindYn isY asılı olmur. Ona gцrY dY inteqrallama dYyişYnini istYnilYn hYrflY işarY etmYk olar:

.

2. ЏgYr yuxarı vY aşağı sYrhYdlYr ьst-ьstY dьşYrsY, onda inteqral sıfra bYrabYrdir:



.

3. Yuxarı vY aşağı sYrhYdlYrin yerini dYyişYndY inteqral цz qiymYtini YksinY dYyişYr



.

4. a, b, c YdYdlYrinin neзY olmalarından asılı olmayaraq aşağıdakı bYrabYrlik doğrudur



.

5. Sabit vuruğu mьYyyYn inteqral işarYsi xaricinY зıxarmaq olar, yYni olduqda



.

6. Bir neзY funksiyanın cYbri cYminin mьYyyYn inteqralı toplananların inteqrallarının cYbri cYminY bYrabYrdir



.

7. ЏgYr parзasınında olarsa, onda



.

8. parзasında olarsa, onda



.

9. parзasında tYyin olunmuş funksiyası ьзьn aşağıdakı bYrabYrlik doğrudur:



.

10. ЏgYr m vY M YdYdlYri funksiyasının parзasında Yn bцyьk vY Yn kiзik qiymYtlYri vY olarsa, onda



.

11. Orta qiymYt haqqında teorem. ЏgYr funksiyası parзasında kYsilmYzdirsY, onda bu parзada elY nцqtYsi tapmaq olar ki, aşağıdakı bYrabYrlik doğru olsun:



.

§ 3. MьYyyYn vY qeyri-mьYyyYn inteqrallar

arasında YlaqY

Tutaq ki, inteqralının aşağı sYrhYdi hYmişYki kimi sabit YdYddir, lakin yuxarı sYrhYdi – b dYyişir. Onda inteqralın qiymYti dY dYyişYr, yYni inteqral yuxarı sYrhYdin funksiyasıdır.

Yuxarı sYrhYdi x ilY işarY edYk vY bunu inteqrallama dYyişYni ilY qarışdırmamaq ьзьn sonuncunu t ilY işarY edYk

a sabit olduğundan bu inteqral yuxarı sYrhYdin, yYni x-in funksiyasını tYyin edir. Bu funksiyanı ilY işarY edYk

(1)

ЏgYr mYnfi deyilsY, funksiyası YdYdi qiymYtcY aAXx YyrixYtli trapesiyasının sahYsinY bYrabYrdir (şYkil 23). Aydındır ki, hYmin sahY
x-dYn asılı olaraq dYyişir.

Teorem. ЏgYr funksiyası kYsilmYzdirsY, onda yuxarı sYrhYdi dYyiYşYn olan mьYyyYn inteqralın tцrYmYsi vardır vY inteqralaltı funksiyanın yuxarı sYrhYddY aldığı qiymYtY bYrabYrdir, yYni

(2)

İsbatı. x-in ixtiyari qiymYtini gцtьrYk vY ona elY artımı verYk ki, . Onda mьYyyYn inteqralın 4-cь xassYsinY YsasYn alarıq:



Buradan funksiyasının artımını tapaq:



.

Orta qiymYt haqqında teoremi (11-ci xassY) tYtbiq etsYk, alarıq



,

burada YdYdi x ilY x + x arasındadır. BYrabYrliyin iki tYrYfini dY x bцlYk



.

ЏgYr indi , onda vY funksiyası parзasında kYsilmYz olduğu ьзьn . Onda axırıncı bYrabYrlikdY şYrtindY limitY keзsYk alarıq



vY ya . Teorem isbat olundu.

BelYliklY, mьYyyYn edilib ki, istYnilYn parзasında kYsilmYz funksiyasının bu parзada ibtidai funksiyası var vY funksiyası – yuxarı sYrhYdi dYyişYn olan mьYyyYn intaqral – ьзьn ibtidai funksiyadır. funksiyası ьзьn başqa ibtidai funksiya -dan yal­nız C sabitinY fYrqlYndiyindYn biz mьYyyYn vY qeyri-mьYyyYn inteqral arasında olan YlaqYni mьYyyYn etmiş oluruq:




Mцvzu 19. Nyuton-Leybnis dьsturu. MьYyyYn inteqralın hesablanması ьsulları


  1. MьYyyYn inteqralda dYyişYni YvYzetmY

  2. HissY-hissY inteqrallama

Teorem. ЏgYr F(x) funksiyası verilmiş -in ibtidai funksiyalarından biri olarsa, onda

(1)

dьsturu doğrudur. Bu dьstura Nyuton-Leybnis dьsturu deyilir.

İsbatı. Tutaq ki, F(x) funksiyası -in hYr hansı bir ibtidai funk­siyasıdır. Yuxarıda isbat olunan teoremY gцrY funksiyası da ьзьn ibtidaidir. VerilYn funksiyanın iki ibtidaisi bir-birindYn C sabiti qYdYr fYrqlYndiyindYn aşağıdakı kimi yazmaq olar

(2)

C sabiti dьzgьn seзildikdY bu bYrabYrlik istYnilYn x ьзьn doğrudur, yYni eynilikdır. Bu C sabitini tapmaq ьзьn bu eynilikdY gцtьrYk, onda

,

yaxud ; vY buradan

DemYli,

.

Burada x = b gцtьrmYklY Nyuton-Leybnis dьsturunu alarıq



,

vY yaxud inteqrallama dYyişYni x gцtьrYrYk



.

ЏgYr fYrqi simvolik olaraq



şYklindY işarY etsYk, onda (1) dьsturunu belY yazmaq olar



.

İnteqralaltı funksiyanın ibtidai funksiyası mYlum olduqda Nyuton-Leybnis dьsturu mьYyyYn inteqralı hesablamaq ьзьn Ylverişli ьsul verir.






Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©azrefs.org 2016
rəhbərliyinə müraciət

    Ana səhifə