Universitetin adı adau




Yüklə 255.5 Kb.
tarix29.04.2016
ölçüsü255.5 Kb.

  1. Universitetin adı ___________ADAU___________________________

  2. FakьltY: İnformasiya texnologiyaları, aqromьhYndislik vY enerğetika

3. Kafedra: ____ Aqrar Fizika vY riyaziyyat________________________

4. FYnn: __ _______ Riyaziyyat _______________________________

5. MьhazirYзi: f.r.e.n. b/m. Abbasov Zahid MYhYmmYd oğlu_____________
GYncY - 2010

ЏdYbiyyat



  1. R.MYmmYdov. “Ali riyaziyyat kursu” I, II vY III hissY. Bakı 1974.

  2. S.N.MYsimova. “Ali riyaziyyatın Ysasları”. Bakı. 2009.

  3. В.С.Шапачев. «Выcшая математика». Москва». Высшая школа» 1990.

Mцvzu 1-2. MatrislYr vY determinantlar. MatrislYr

ьzYrindY YmYllYr. TYrs matris

Matris anlayışı

  1. MatrislYr anlayışı.

  2. MatrislYr ьzYrindY YmYllYr.

  3. TYrs matrislYr haqqında tYrif.

  4. TerminlYr vY tYriflYr geniş tYhlili.

  5. Determinantlar. Determinantın Ysas xassYlYri.

  6. CYbri tamlayıcılar vY monorlar.

  7. Determinantların hesablanması ьзьn ьзbucaq qaydası.

Tutaq ki, m vY n natural YdYdlYrdir, sayda YdYddYn dьz­bucaqlı şYklindY dьzYldilmiş m sayda sYtri vY n sayda sьtunu olan cYdvYlY (mЧn) – цlзьlь matris deyilir. Matrisi

(1)

şYklindY yazırlar. BYzYn qısa olmaq ьзьn matrisi bцyьk hYrflY (A, B, C, X, Y, …) vY ya aij ( , ) şYklindY işarY edirlYr.

Matrisi tYşkil edYn aij YdYdlYrinY onun elementlYri deyilir. Elementin aşağısında yazılan iki ( ij) indeksdYn birincisi ( i) hYmin elementin yerlYşdiyi sYtrin nцmrYsini, ikincisi ( j) isY onun yerlYşdiyi sьtunun nцmrYsini gцstYrir.

(mЧn) – цlзьlь (1) matrisinin sYtir vY sьtunlarının sayı bYrabYr olduqda (m=n) ona kvadrat matris deyilir. Bu halda n YdYdinY kvadrat matrisin tYrtibi deyilir. MYsYlYn,



– ikitYrtibli matris, – ьзtYrtibli matris.

Bir elementdYn ibarYt olan matrisY birtYrtibli matris deyilir. Ancaq bir sYtri olan matrisY sYtir-matris



,

ancaq bir sьtunu olan matrisY isY sьtun-matris deyilir





n tYrtibli

(2)

kvadrat matrisinin yuxarı sol kьncьndY yerlYşYn elementi ilY aşağı sağ kьncьndYki ann elementini birlYşdirYn dьz xYtt parзası ьzYrindY yerlYşYn elementlYri зoxluğu hYmin matrisin baş diaqonalı adlanır. Yalnız baş diaqonal elementlYri sıfırdan fYrqli olan kvadrat matrisY diaqonal matris deyilir. Bьtьn elementlYri vahidY bYrabYr olan diaqonal matris vahid matris adlanır:



.

Bьtьn elementlYri sıfra bYrabYr olan kvadrat matrisY sıfır matris deyilir vY O ilY işarY olunur. MYsYlYn,



.

Verilmiş A matrisinin bьtьn uyğun sYtir vY sьtunlarının yerinin dYyişdirilmYsinY (nцmrYsi saxlanmaqla) hYmin matrisin зevrilmYsi vY ya transponirY edilmYsi deyilir vY ilY işarY olunur. MYsYlYn,



, .

Aydındır ki, . olduqda A matrisinY simmetrik matris deyilir. (2) matrisinin simmetrik olması şYrtini kimi yazmaq olar. olduqda A matrisinY зYpsimmetrik matris deyilir.

Eyni цlзьlь vY bьtьn uyğun elementlYri bYrabYr olan matrislYrY bYrabYr matrislYr deyilir.

Matris ьzYrindY YmYllYr

1. MatrislYrin cYmi. Eyni (mЧn) – цlзьlь A=(aij) vY


B = (bij) ( ) matrislYrinin cYmi hYmin цlзьlь vY hYdlYri

( ) (1)

kimi tYyin olunan C = (cij) matrisinY deyilir vY C=A+B ilY işarY olunur.

TYrifdYn aydındır ki, matrislYrin toplanması yerdYyişmY vY qruplaşdırma xassYlYrinY malikdir, yYni eyniцlзьlь A, B vY C matrislYri ьзьn



A+B=B+A,

A+(B+C)=(A+B)+C

mьnasibYtlYri doğrudur. Eyniцlзьlь A matrisi vY O sıfır matrisi ьзьn hYmişY A+O=A mьnasibYti doğrudur.

2. MatrislYrin fYrqi. Eyniцlзьlь A vY B matrislYrinin fYrqi hYmin цlзьlь elY C matrisinY deyilir ki, onu B ilY topladıqda A-ya bYrabYr olsun: A=C+B. A vY B matrislYrinin fYrqini AB=C (cij = aij bij) ilY işarY edirlYr. Aydındır ki, hYmişY AA=0.

3. Matrisin YdYdY vurulması. Verilmiş A = (aij) ( matrisinin hYqiqi YdYdinY hasili hYdlYri ( kimi tYyin olunan B = (aij) matrisinY deyilir vY B=A ilY işarY olunur. Aydındır ki, ixtiyari A, B matrislYri vY , YdYdlYri ьзьn

()A= (A), (A+B)=A+B,

(+)A=A+A

xassYlYri doğrudur. Bundan başqa

4. İki matrisin hasili. (mЧn) цlзьlь A = (aij) ( matrisinin (nЧk) цlзьlь B = (bij) ( ) matrisinY hasili hYdlYri



( )

kimi tYyin olunan (mЧp) цlзьlь C = (cij) ( ) matrisinY iki matrisin hasili deyilir vY C = A B ilY işarY olunur.

TYrifdYn aydındır ki, ixtiyari цlзьlь iki matrisi vurmaq olmaz.
A matrisini o zaman B matrisinY vurmaq olar ki, A-nın sьtunlarının sayı B-nin sYtirlYrinin sayına bYrabYr olsun.

Xьsusi halda



.

Qeyd edYk ki, eynitYrtibli A vY B kvadrat matrislYrinin hasili ьзьn yerdYyişmY xassYsi doğru deyil: AB BA. Lakin istYnilYn A kvadrat matrisi ilY eynitYrtibli olan I vahid vY O sıfır matrislYrinin hasili ьзьn yerdYyişmY xassYsi hYmişY doğrudur



IA = AI = A,

OA = AO = O.

MatrislYrin hasilinin bir sıra başqa xassYlYri dY vardır. MYsYlYn, ixtiyari A, B, C matrislYri vY hYqiqi YdYdi ьзьn

,

(A+B)C=AS+BC,



C(A+B)=SA+CB,

A(BC)=(AB)C,

bYrabYrliklYri doğrudur.

Determinantın tYrifi

ЏvvYlcY ikitYrtibli

(1)

matrisinY baxaq. Bu matrisin elementlYrindYn dьzYldilmiş fYrqinY (1) matrisinin determinantı (vY ya sadYcY olaraq ikitYrtibli determinant) deyilir vY

(2)

kimi işarY olunur.

ЬзtYrtibli

(3)

matrisinin elementlYrindYn dьzYldilmiş



(4)

ifadYsinY ьзtYrtibli determinant deyilir. (4) ifadYsinY determinantın aзılışı deyilir.

Minor vY cYbri tamamlayıcı. Matris kimi determinantlar da sYtir vY sьtunlardan ibarYtdir. n tYrtibli determinantın hYr hansı elementinin yerlYşdiyi sYtir vY sьtunu sildikdYn sonra yerdY qalan elementlYr n1 tYrtibli bir determinant YmYlY gYtirir. Bu determinanta hYmin elementin minoru deyilir. aij elementinin minorunu Mij ilY işarY edirlYr. Mij minorunun (–1) i+j vuruğu ilY hasilinY aij elementinin cYbri tamamlayıcısı deyilir vY

kimi işarY olunur.

Determinantın Ysas xassYlYri
1. Determinantın bьtьn uyğun sYtir vY sьtunlarının yerini dYyişdikdY onun qiymYti dYyişmYz

.

2. Determinantın iki qonşu sYtrinin (vY ya sьtununun) bir-biri ilY yerini dYyişdikdY determinantın ancaq işarYsi dYyişYr



.

3. İki sYtri (sьtunu) eyni olan determinant sıfra bYrabYrdir





4. Determinantın hYr hansı bir sYtrinin (sьtununun) bьtьn elementlYri sıfır olduqda determinant sıfra bYrabYr olar.

5. Determinantın hYr hansı bir sYtir (sьtun) elementlYrinin ortaq vuruğu olarsa, onda hYmin vuruğu determinantın xaricinY зıxarmaq olar

.

6. Determinantın iki sYtri (sьtunu) mьtYnasib olarsa, onda determinant sıfra bYrabYr olar



.

7. Determinantın hYr hansı bir sYtrinin bьtьn elementlYri iki YdYdin cYmi kimi verildikdY, hYmin determinant iki determinantın cYminY bYrabYr olar, bu determinantların birindY hYmin sYtir elementlYri olaraq birinci toplananlar, o birindY isY hYmin sYtir elementlYri olaraq ikinci toplananlar gцtьrьlьr:



.

8. Determinantın hYr hansı sYtrinin (sьtununun) bьtьn elementlYrini bir YdYdY vurub onun başqa bir sYtrinin (sьtununun) uyğun elementlYri ьzYrinY YlavY etsYk, determinant dYyişmYz



.

9. HYr bir determinant hYr hansı bir sYtir vY ya sьtun elementlYrinin цz cYbri tamamlayıcıları ilY hasillYrinin cYminY bYrabYrdir. Determinantın i sYtrinY gцrY ayrılışı



( ),

j sьtununa gцrY ayrılışı isY

( )

olar.


10. Determinantın hYr hansı bir sYtir vY ya sьtun elementlYrinin başqa bir sYtir vY ya sьtunun uyğun cYbri tamamlayıcıları ilY hasillYrinin cYmi sıfra bYrabYrdir.

TYrs matris
Tutaq ki, A hYr hansı tYrtibli kvadrat matris vY I hYmin tYrtibli vahid matrisdir. Bu halda

(1)

bYrabYrliyini цdYyYn matrisinY A matrisinin tYrsi deyilir. (1) bYrabYrliyi gцstYrir ki, matrisi A matrisinin tYrsidirsY, onda A matrisi dY matrisinin tYrsidir:

, (2)

yYni A vY matrislYri qarşılıqlı tYrs matrislYrdir. A matrisinin yalnız vY yalnız bir tYrs matrisi ola bilYr. Verilmiş A matrisinin tYrs matrisinin olması ьзьn onun  determinantının sıfırdan fYrqli olması zYruri vY kafi şYrtdir. DemYli, determinantı sıfırdan fYrqli ( ) olan ixtiyari

(3)

kvadrat matrisinin yeganY tYrs matrisi var:

, (4)

burada Aij A matrisin aij elementinin cYbri tamamlayıcısıdır. Qeyd edYk ki, (4) dьsturunda A matrisinin hYr bir sYtir elementlYrinin cYbri tamamlayıcıları hYmin nцmrYli sьtuna yazılmışdır.
Mцvzu 3. XYtti tYnliklYr sisteminin hYll ьsulları

1. XYtti tYnliklYr sistemini hYlli ьзьn Kramer qaydası.

2. Vahid matrisin eyni zamanda mYзulları ardıcıl yox etmYklY sistemin hYllini 3. Qaus ьsulu ilY tapılmasını mьYyyYn etmYk.
XYtti sistemlYr. Џsas tYriflYr. XYtti tYnliklYr sisteminin matris şYklindY yazılması

(1)

şYklindY olan sistem n mYchullu m xYtti tYnliklYr sistemi vY ya xYtti sistem adlanır, burada aij , bi ( ) – YdYdlYrdir. TYnliklYrin sağ tYrYflYrindYki YdYdlYrinin hamısı sıfra bYrabYr olarsa, onda hYmin sistemY bircins xYtti tYnliklYr sistemi deyilir. YdYdlYrinin heз olmasa biri sıfırdan fYrqli olduqda (1) sisteminY bircin olmayan xYtti tYnliklYr sistemi deyilir. SistemY daxil olan tYnliklYrin hYr birini цdYyYn qiymYtlYr зoxluğuna hYmin sistemin hYlli deyilir.

Verilmiş sistemin hYlli ola da bilYr, olmaya da bilYr; sistemin hYlli varsa, ona uyuşan vY ya birgY sistem, Yks halda isY uyuşmayan vY ya birgY olmayan sistem deyilir. TYnliklYr sistemi uyuşan olduqda onun bir vY ya birdYn зox hYlli ola bilYr. TYnliklYrin sayı mYchulların sayına bYrabYr olanda sistemY kvadrat sistem deyilir.

(1) xYtti tYnliklYr sistemini matris tYnliyi şYklindY yazmaq olar.

MYchulların Ymsallarından dьzYlmiş matrisi A, sağ tYrYfdYki mYlum YdYdlYrdYn dьzYlmiş sьtun-matrisi B, axtarılan mYchullardan dь­zYlmiş sьtun-matrisi isY X ilY işarY edYk:



, , .

A matrisin sьtunlarının sayı X matrisinin sYtirlYrinin sayına bYrabYr olduqdan, AX hasilini tapa bilYrik

.

(1) tYnliklYr sisteminin sağ tYrYfi B sьtun-matrisin elementlYridir vY buna gцrY dY matrislYrin bYrabYrliyi şYrtinY YsasYn



AX = B (2)

yazmaq olar. (2) tYnliyinY matris-tYnlik deyilir.


XYtti tYnliklYr sisteminin Kramer ьsulu ilY hYlli

Tutaq ki, kvadrat xYtti tYnliklYr sistemi (yYni n mYchullu n tYnlik) verilmişdir

(1)

vY Ysas matirisin determinantı sıfırdan fYrqlidir:

. (2)

Tutaq ki, (1) sisteminin hYr hansı bir hYllidir. Onda (1) bYrabYrliklYrini uyğun olaraq Ysas matrisin  determinantının hYr hansı j sьtunun elementlYrinin cYbri tamamlayıcılarına vurub vY sonra alınan bYrabYrliklYri toplasaq alarıq:



.

Burada i sьtun elementlYrinin j sьtunun elementlYrinin uyğun cYbri tamamlayıcılarına hasillYrinin cYmi olanda sıfra vY i = j olanda determinanta bYrabYr olmasını nYzYrY alsaq son bYrabYrlikdYn alarıq

. (3)

Џsas matrisin determinantından j sьtununu sabit hYdlYr sьtunu ilY YvYz etmYklY (-nın bьtьn başqa sьtunlarını saxlamaq şYrti ilY) alınan determinantı ilY işarY edYk.

Qeyd edYk ki, (3)-ьn sağ tYrYfindY elY hYmin determinantı durur vY bu bYrabYrlik aşağıdakı şYkilY dьşYr:

( ). (4)

Џsas matrisin  determinantı sıfırdan fYrqli olduğundan (4) bYrabYrliklYri aşağıdakı nisbYtlYrY ekvivalentdirlYr

( ). (5)

BelYliklY, Ysas matrisinin (2) determinantı sıfırdan fYrqli olan (1) sisteminin hYllYri birqiymYtli olaraq (5) dьsturları vasitYsilY tYyin edilir. Bu dьsturlar Kramer dьsturları adlanırlar.

Mцvzu 4. MatrislYr ьsulu ilY xYtti tYnliklYr sisteminin hYlli.

1. Vektorlar anlayışını, vektorlar bYrasindY geniş mYlumat vermYk, eyni zamanda yцnYldici -ları tYyin etmYk.


XYtti tYnliklYr sisteminin matris ьsulu ilY hYlli

Tutaq ki, n mYchullu n xYtti tYnliklYr sistemi verilmişdir

(1)

vY mYchulların Ymsallarından dьzYlmiş Ysas matrisin

(2)

determinantı sıfırdan fYrqlidir.

(1) sistemini ona ekvivalent olan matris tYnliyi ilY YvYz edYk

AX = B , (3)

burada A – sistemin Ysas matrisi, X vY B isY sьtun-matrislYrdir



, .

A matrisinin  determinantı sıfırdan fYrqli olduğu ьзьn onun tYrs matrisi var. Tutaq ki, (1) sistemin hYlli var, yYni (3) matris tYnliyini eyniliyY зevirYn X sьtunu vardır. Bu halda (3) tYnliyinin hYr iki tYrYfini soldan matrisinY vursaq, alarıq

. (4)

Buradan ьз matrisin hasilinin xassYsini vY (burada I vahid matrisidir) olduğunu nYzYrY alsaq onda

.

NYticYdY, (4) dьsurundan alarıq ki,

. (5)

BelYliklY, isbat etdik ki, (3) matris tYnliyinin hYlli varsa, onda o (5) mьnasibYti ilY birqiymYtli tYyin edilir.

Asanlıqla yoxlamaq olar ki, (5) mьnasibYti ilY tYyin edilYn X sьtunu doğrudan da (3) matris tYnliyinin hYllidir, yYni bu tYnliyi eyniliyY зevirir. Doğrudan da, YgYr X matrisi (5) mьnasibYti ilY tYyin edilYrsY, onda

.

DemYli, YgYr A matrisinin determinantı sıfırdan fYrqli olarsa, onda (5) mьnasibYti ilY tYyin edilYn (3) matris tYnliyinin yeganY hYlli vardır.



Hauss ьsulu

Tutaq ki, kvadrat xYtti tYnliklYr sistemi verilmişdir:

(1)

Bu sistemin hYlli ьзьn istifadY edilYn mYchulların yox edilmYsi ьsulunun vY ya Qauss ьsulunun mahiyyYti aşağıdakı kimidir. Tutaq ki, . Onda sistemin birinci tYnliyinin hYr iki tYrYfini YdYdinY vuraraq, alınan



tYnliyini sistemin ikinci tYnliyindYn tYrYf-tYrYfY зıxaq. Aldığımız tYnlikdY mYchulu iştirak etmir:



.

Sonra sistemin birinci tYnliyinin hYr iki tY]rYfini YdYdinY vuraraq alınan tYnliyi sistemin ьзьncь tYnliyindYn tYrYf-tYrYfY зıxaq. Bu mьhakimYni ardıcıl tYtbiq etmYklY (1) sistemini



(2)

şYklindY sistemY gYtirmYk olar. Aldığımız yeni sistemin 2-ci, 3-cь vY s. tYnliklYrindYn istifadY etmYklY yuxarıda gцstYrdiyimiz ьsulla mYchulunu da yox etmYk olar. Bu mьhakimYni ardıcıl olaraq tYtbiq etmYklY (1) sistemini ona ekvivalent olan



(3)
tYnliklYr sisteminY gYtirmYk olar. (3) sisteminY pillYvari (vY ya pillYlYr şYklindY) sistem deyilir. Sonuncu tYnlikdYn mYchulu tapılır, sonra yuxarı qalxaraq vY bu qayda ilY davam edYrYk birinci tYnlikdYn mYchulunu tapırıq. (1) sistemini Qauss ьsulu ilY hYll edYrkYn tYnliklYr ьzYrindY aparılan YmYllYri bYzYn onların Ymsallarından dьzYlmiş

matrisi zYrindY aparmaq daha mnasib olur. BelY matris genişlYnmiş matris adlanır.



Mцvzu 5-6. Funksiya anlayışı. LimitlYr. Funksiyanın kYsilmYzliyi.

DYyişYn vY sabit kYmiyyYtlYr

1. İki vektorun skalyar hasili, vektorial hasili haqqında mYlumat vermYk.

2. Vektorların vYziyyYtini tYyin etmYklY ьзbucağın, paraleloqramın sahYsinin tapılmasını mьYyyYn etmYk.

3. MьstYvi ьzYrindY analitik hYndYsY.

4. DьzxYttin bucaq Ymsal tYnliyi tYnliyini, parзalarla, normal şYkildY tYnliklYrini vY hYmin tYnliklYr arasında YlaqY yaratmaq.
TYbiYti цyrYnYn hYr bir elmin цzьnYmYxsus sYciyyYvi kYmiyyYtlYri vardır. MYsYlYn, istilik tutumu, mьqavimYt, tYcil vY s. fiziki kYmiyyYtlYrdir, parзanın uzunluğu, sahY, hYcm vY s. hYndYsi kYmiyyYtlYrdir.

Riyazi kYmiyyYtlYr iki nцv – sabit vY dYyişYn olur. HYmişY (yaxud da, mьYyyYn proses dцvrьndY) eyni bir YdYdi qiymYti olan kYmiyyYtY sabit kYmiyyYt, mьxtYlif YdYdi qiymYtlYr ala bilYn kYmiyyYtlYrY isY dYyişYn kYmiyyYtlYr deyilir. Aydındır ki, sabit kYmiyyYtY hYmişY eyni bir YdYdi qiymYt alan dYyişYn kYmiyyYt kimi dY baxmaq olar. Bundan sonra biz dYyişYn kYmiyyYtlYri x, y, z, u… vY s. hYrflYri ilY, sabit kYmiyyYtlYri isY a, b, c, … vY s. hYrflYri ilY işarY edYcYyik.

DemYk lazımdır ki, konkret fiziki hadisYlYrY baxanda belY bir hal ola bilYr: eyni bir ad daşıyan kYmiyyYt hadisYlYrin birindY sabit, digYrindY isY dYyişYndir. MYsYlYn, bYrabYrsьrYtli hYrYkYtin sьrYti sabitdir, bYrabYrtYcilli hYrYkYtdY isY sьrYt dYyişYn kYmiyyYtdir. Цz YdYdi qiymYtini istYnilYn hadisYdY sabit saxlayan kYmiyyYtlYrY mьtlYq sabitlYr deyilir. MYsYlYn, зevrY uzunluğunun diametrY nisbYti mьtlYq sabit kYmiyyYtdir  3,14159 . DYyişYn kYmiyyYt mьx­tYlif YdYdi qiymYtlYr aldığından baxılan mYsYlYnin xarakterindYn asılı olaraq bu qiymYtlYrin toplusu mьxtYlif ola bilYr.

TYrif. DYyişYn kYmiyyYtin ala bildiyi bьtьn qiymYtlYr зoxluğuna bu kYmiyyYtin dYyişmY oblastı deyilir.



Funksiya anlayışı

Verilmiş x vY y dYyişYn kYmiyyYtlYri bir-birindYn asılı olaraq istYnilYn qiymYtlYri ala bilirsY, yYni birinin aldığı qiymYtlYr, o birinin bu vY ya başqa qiymYtlYri alıb almamasından asılı deyilsY, onlara asılı olmayan vY ya sYrbYt dYyişYn kYmiyyYtlYr deyilir. Aydındır ki, belY dYyişYn kYmiyyYtlYri ayrılıqda цyrYnmYyin heз bir mYnası yoxdur. Buna gцrY dY riyaziyyat elmindY asılı olan dYyişYn kYmiyyYlYr цyrYnilir.

TYrif. ЏgYr hYr hansı f qaydası vY ya qanunu vasitYsilY x dYyişYn kYmiyyYtinin X dYyişmY oblastındakı hYr bir qiymYtinY y dYyişYn kYmiyyYtinin Y dYyişYn oblastında olan mьYyyYn bir qiymYti uyğun olarsa, belY uyğunluğa funksiya deyilir vY ilY işarY edilir.

Bu halda x dYyişYni arqument vY ya sYrbYst dYyişYn, y dYyişYni funksiya vY ya asılı dYyişYn, x vY y kYmiyyYtlYrinin arasındakı asılılıq funksional asılılıq adlanır. X зoxluğuna funksiyanın tYyin oblastı, Y зoxluğuna isY funksiyanın qiymYtlYr oblastı deyilir.

Funksiyanın aşağıdakı işarYlYri dY istifadY edilir: , y = F(x), y = (x), y = (x), y = y(x) vY s. Verilmiş funksiyasının nцqtYsindY aldığı qiymYti f(a) kimi işarY edirlYr.

Tutaq ki, funksiyası parзasında tYyin edilib. AbsislYri arqumentin qiymYtlYri, ordinatları isY funksiyanın qiymYtlYri olan nцqtYlYrinin hYndYsi yerinY funksiyasının qrafiki deyilir.

ЏgYr x dYyişYninin hYr bir qiymYtinY y dYyişYninin ancaq bir qiymYti uyğun olarsa, onda y funksiyası x-in birqiymYtli funksiyası adlanır. ЏgYr x dYyişYninin heз olmasa bYzi qiymYtlYrinY y dYyişYninin bir neзY qiymYti uyğun olarsa, onda belY funksiyaya зoxqiymYtli funksiya deyilir.

f funksiyasının verilmYsi, x arqumentinin hYr bir qiymYtinY gцrY funksiyasının uyğun qiymYtinin necY tapılması demYkdir. Funksi­yanın verilmYsinin 3 Ysas ьsulu vardır: analitik, yYni dьstur vasitYsilY, cYdvYl vY qrafik.
DYyişYn kYmiyyYtin limiti

TYrif 1. ЏgYr YvvYlcYdYn verilmiş istYnilYn kiзik mьsbYt YdYdi ьзьn x dYyişYn kYmiyyYtinin elY qiymYtini gцstYrmYk olarsa ki, hYmin dYyişYnin sonra gYlYn bьtьn qiymYtlYri bYrabYrsizliyini цdYsin, onda a YdYdinY x dYyişYninin limiti deyilir.

ЏgYr a YdYdi x dYyişYn kYmiyyYtinin limitidirsY, onda deyirlYr ki, x dYyişYni a-ya yaxınlaşır, bunu simvolik belY yazırlar: , yaxud .

Limitin tYrifini hYndYsi istilahlarla belY demYk olar: YgYr a YdYdinin mYrkYzi a nцqtYsindY, radiusu isY olan istYnilYn kiзik Ytrafında x dYyişYninin elY qiymYtini tapmaq mьmkьndьr ki, x-in bьtьn sonrakı qiymYtlYrinY uyğun nцqtYlYr bu Ytrafda yerlYşYrsY, onda a sabiti x dYyişYninin limitidir (şYkil 12).

TYrif 2. ЏgYr istYnilYn mьsbYt M YdYdi ьзьn x dYyişYn kYmiyyYtinin elY qiymYtini gцstYrmYk olarsa ki, dYyişYnin ondan sonra gYlYn bьtьn qiymYtlYri bYrabYrsizliyini цdYsin, onda x kYmiyyYti sonsuz bцyьyYn vY ya sonsuzluğa yaxınlaşan adlanır.

Sonsuz bцyьyYn kYmiyyYti işarY etmYk ьзьn aşağıdakı simvollardan istifadY edirlYr: , , , .

TYrif 3. ЏgYr istYnilYn kiзik mьsbYt YdYdi ьзьn x dYyişYninin elY qiymYtini gцstYrmYk olarsa ki, hYmin dYyişYnin sonra gYlYn bьtьn qiymYtlYri bYrabYrsizliyini цdYsin, onda deyirlYr ki, x dYyişYni sıfra yaxınlaşır vY yaxud sonsuz kiзilYndir.

ЏgYr kYmiyyYt sonsuz kiзilYndirsY, onda o belY işarY olunur: yaxud .

Sonsuz kiзilYn vY sonsuz bцyьyYn kYmiyyYt arasında aşağıdakı teoremlYrlY ifadY edilYn sıx YlaqY vardır.

Teorem 1. ЏgYr x sonsuz bцyьyYn kYmiyyYtdirsY, onda sonsuz kiзilYn kYmiyyYtdir.

Teorem 2. ЏgYr x sonsuz kiзilYn kYmiyyYtdirsY, onda sonsuz bцyьyYn kYmiyyYtdir.

Sonsuz kiзilYn vY sonsuz bцyьyYn kYmiyyYtlYr bir sıra xassYlYrY malikdir.

1. Sonlu sayda sonsuz kiзilYnlYrin cYbri cYmi sonsuz kiзilYn kYmiyyYtdir.

2. Sonsuz kiзilYn kYmiyyYtlYrin fYrqi sonsuz kiзilYndir.

3. Sonsuz kiзilYn kYmiyyYtlY mYhdud kYmiyyYtin hasili sonsuz kiзilYndir.

4. Sonsuz kiзilYn kYmiyyYtin sabit kYmiyyYtY hasili sonsuz kiзilYndir.

5. İki sonsuz kiзilYn kYmiyyYtin hasili sonsuz kiзilYndir.

6. Sonsuz kiзilYn kYmiyyYtin tam mьsbYt qьvvYti sonsuz kiзilYndir.

7. İki sonsuz kiзilYn kYmiyyYtin nisbYti heз dY hYmişY sonsuz kiзilYn olmur.

MYsYlYn. Tutaq ki, sonsuz kiзilYn kYmiyyYtlYrdir. – sabit kYmiyyYt, sonsuz bцyьyYn kYmiyyYt, – sonsuz kiзilYn kYmiyyYt.



Funksiyanın limiti

TYrif 1. Tutaq ki, funsiyası a nцqtYsinin bir Ytrafında vY ya bu Ytrafın bYzi nцqtYlYrindY tYyin olunmuşdur. ЏgYr istYnilYn kiзik mьsbYt YdYdi ьзьn elY mьsbYt YdYdi var ki, x-in a-dan fYrqli vY bYrabYrsizliyini цdYyYn bьtьn qiymYtlYri ьзьn

bYrabYrsizliyi цdYnYrsY (şYkil 13), onda deyirlYr ki, x arqumenti a-ya yaxınlaşdıqda ( ) funksiyası A limitinY yaxınlaşır . Bunu qısa olaraq şYklindY yazırlar.

Teorem. ЏgYr A YdYdi x arqumenti a-ya yaxınlaşdıqda funksiyasının limitidirsY, onda

vY ya (1)

burada kYmiyyYti şYrtindY sonsuz kiзilYndir. Bunun Yksi dY doğrudur: YgYr (1) bYrabYrliyi цdYnirsY, onda

TYrif 2. x dYyişYni a YdYdindYn yalnız kiзik qiymYtlYr alaraq ona yaxınlaşdıqda, f(x) funksiyası A1 limitinY yaxınlaşarsa, yazırlar vY A1 YdYdinY f(x) funksiyasının a nцqtYsindY sol limiti deyilir. ЏgYr x kYmiyyYti yalnız a-dan bцyьk qiymYtlYr alırsa, onda yazırlar vY A2 YdYdinY funksiyanın a nцqtYsindY sağ limiti deyilir.

TYrif 3. ЏgYr kiзik mьsbYt YdYdi ьзьn elY mьsbYt N YdYdi gцstYrmYk olarsa ki, bYrabYrsizliyini цdYyYn bьtьn x-lYr ьзьn bYrabYrsizliyi цdYnYrsY, onda A YdYdinY x sonsuzluğa yaxınlaşdıqda f(x) funksiyasının limiti deyilir vY aşağıdakı kimi işarY edilir



Limit haqqında Ysas teoremlYr

Aşağıda verilYn teoremlYr yalnız arqumentin sonlu a nцqtYsinY yaxınlaşdığı halda yox, hYm dY arqumentin -a (– vY ya +) yaxınlaşdığı hallarda da doğrudur.

Teorem 1. Sonlu limitlYri olan sonlu sayda funksiyaların cYbri cYminin limiti onların limitlYrinin cYbri cYminY bYrabYrdir

Teorem 2. Sonlu limitlYri olan sonlu sayda funksiyalarının hasilinin limiti onların limitlYri hasilinY bYrabYrdir



NYticY 1. Sabit vuruğu limit işarYsi xaricinY зıxarmaq olar



NYticY 2. Sonlu limiti olan f(x) funksiyası ьзьn



Teorem 3. İki f(x) vY g (x) funksiyalarının sonlu limitlYri varsa vY mYxrYcin limiti sıfırdan fYrqlidirsY , onda onların nisbYtinin limiti limitlYrinin nisbYtinY bYrabYrdir



Teorem 4. ЏgYr f(x), g(x), h(x) funksiyalarının uyğun qiymYtlYri arasında f g h bYrabYrsizliklYri цdYnYrsY, hYmзinin (yaxud ) şYrtindY f(x) vY h(x) eyni bir A limitinY yaxınlaşarsa, onda g(x) funksiyası (yaxud ) şYrtindY hYmin limitY yaxınlaşar.

Teorem 5. ЏgYr (yaxud ) şYrtindY limiti olan iki f(x) vY g(x) funksiyasının uyğun qiymYtlYri arasında f(x)  g(x) bYrabYrsizliyi varsa, onda

Teorem 6. ЏgYr (yaxud ) şYrtindY f(x) funksiyası mYnfi olmayan qiymYtlYr alırsa vY A limitinY yaxınlaşırsa, onda A mYnfi olmayan YdYddir. YYni f(x) 0 , onda



Analoji olaraq, YgYr f(x) 0 olarsa, onda



Teorem 7. ЏgYr f kYmiyyYti artandırsa, yYni onun hYr bir sonrakı qiymYti цzьndYn YvvYlki qiymYtindYn bцyьkdьrsY vY o mYhduddursa, yYni f<M, onda hYmin dYyişYn kYmiyyYtin limiti var: vY burada A M.

Azalan mYhdud kYmiyyYt haqqında da buna oxşar tYklif doğrudur.
MYşhur limitlYr

1. şYrtindY funksiyasının limiti.



funksiyası x=0 nцqtYsindY tYyin olunmamışdır, зьnki bu halda kYsrin mYxrYci vY surYti sıfra зevrilir. Vahid radiuslu зevrY gцtьrYk (şYkil 14). MOB mYrkYzi bucağını x ilY işarY edYk vY tutaq ki, . ŞYkildYn bilavasitY gцrьnьr ki,

MOA sahYsi < MOA sektorunun sahYsi <  COA sahYsi. (1)

MOA sahYsi = OAMB =  1  sin x = sin x,

MOA sektorunun sahYsi = OAAM =  1  x = x,

COA sahYsi = OAAC =  1 tg x = tg x.

NYticYdY (1) bYrabYrsizliyini aşağıdakı kimi yazmaq olar:

sin x < x < tg x.

HYr tYrYfi sin x-Y bцlsYk (sin x>0)

yaxud

1 > > cos x



alarıq.

vY cos(–x) = cos x mьnasibYtlYrini nYzYrY alsaq, bu bYrabYrsizliyin x < 0 olduqda da doğru olduğu aydın olar.

DigYr tYrYfdYn,



DemYli, funksiyası limitlYri vahidY bYrabYr olan iki eynilimitli funksiyanın arasında yerlYşir. BYlYliklY, 4-cь teoremY YsasYn



2. e YdYdi.

Tutaq ki, n artan dYyişYn kYmiyyYtdir vY 1, 2, 3,  qiymYtlYrini alır. Bu halda

kYmiyyYtinY baxaq.





; ;

Aşağıdakı teorem doğrudur.

Teorem 1. dYyişYn kYmiyyYtinin n  şYrtindY limiti var vY bu limit 2 ilY 3 arasındadır

DemYli, dYyişYni artan vY mYhdud kYmiyyYtdir, ona gцrY dY onun parзasına daxil olan limiti var. Bu limit irrasional YdYddir vY e hYrfi ilY işarY edilir. e  2,7182

TYrif. dYyişYn kYmiyyYtinin n  şYrtindY limitinY e YdYdi deyilir:

Teorem 2. funksiyasının x sonsuzluğa yaxınlaşanda li­miti e YdYdidir:








Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©azrefs.org 2016
rəhbərliyinə müraciət

    Ana səhifə