GUÍa de ejercicios estadística




Yüklə 108.7 Kb.
tarix22.02.2016
ölçüsü108.7 Kb.

GUÍA DE EJERCICIOS ESTADÍSTICA




Estadística Descriptiva

1)Se toma una muestra de 12 estudiantes matriculados en estadística y se les pregunta por el número de horas que emplearon en estudiar la asignatura en la semana anterior al examen final:


12 7 4 16 21 5

9 3 11 14 10 6




  1. Hallar la media muestral.

  2. Hallar la mediana muestral.

  3. Hallar la varianza muestral y la desviación típica.

2)Se somete a los 40 estudiantes de una clase a una encuesta para evaluar al profesor, según una escala que va de 1 (malo) hasta 5 (excelente). Los resultados se recogen en la siguiente tabla.

PUNTUACIÓN NÚMERO DE ESTUDIANTES


  1. 1

  2. 7

3 15

4 10


5 7


  1. Hallar la media.

  2. Hallar la mediana de estas puntuaciones.

  3. Hallar la varianza y la desviación típica de esta población.

3)Se toma una muestra de 25 estudiantes. La tabla siguiente recoge la cantidad de tiempo empleado por cada uno de los miembros de dicha muestra en preparar un examen.


TIEMPO DE

ESTUDIO (HORAS) 0-4 4-8 8-12 12-16 16-20

NUMERODE

ESTUDIANTES 3 7 8 5 2




  1. Dibujar el histograma.

  2. Hallar las frecuencias relativas.

  3. Hallar las frecuencias relativas acumuladas y dibujar el histograma correspondiente.

  4. Estimar la media muestral.

  5. Estimar la desviación típica muestral

  6. ¿En qué clase está la mediana muestral?

  7. ¿Cuál es la clase modal?

Probabilidades

1)Un director de tesorería está considerando invertir en el capital de una empresa de asistencia sanitaria. La valoración de probabilidades del director correspondientes a las tasas de rentabilidad de este capital durante el próximo año se recogen en la tabla adjunta. Sea A el suceso “la tasa de rentabilidad será mayor del 10%” y sea B el suceso “la tasa de rentabilidad será negativa”.



TASA DE RENTABILIDAD PROBABILIDADES


Menos de –10% 0.04

Entre -10% y 0% 0.14

Entre 0% y 10% 0.28

Entre 10% y 20% 0.33

Más del 20% 0.21




  1. Calcular la probabilidad del suceso A

  2. Calcular la probabilidad del suceso B

  3. Describir el complementario del suceso A

  4. Calcular la probabilidad del complementario del suceso A

  5. Describir el suceso intersección de los sucesos A y B

  6. Calcular la probabilidad de la intersección de los sucesos A y B

  7. Describir el proceso unión de los sucesos A y B

  8. Calcular la probabilidad de la unión de los sucesos A y B

  9. ¿ Son los sucesos A y B mutuamente excluyentes?

  10. ¿ Son los sucesos A y B colectivamente exhaustivos?

Rtas: a) 0.54 b) 0.18 d) 0.46 f) 0 h) 0.72 i) SI j) NO
2)Un gerente tiene disponible un grupo de empleados a los que les podría ser asignada la supervisión de un proyecto. Cuatro de los empleados son mujeres y cuatro son hombres. Dos de los hombres son hermanos.

El gerente debe realizar la asignación al azar, de manera que cada uno de los ocho empleados tiene la misma probabilidad de salir elegido. Sea A el suceso “el empleado elegido es un hombre” y sea B el suceso “el empleado elegido es uno de los dos hermanos”.




  1. Calcular la probabilidad del suceso A

  2. Calcular la probabilidad del suceso B

  3. Calcular la probabilidad de la intersección de los sucesos A y B

  4. Calcular la probabilidad de la unión de los sucesos A y B

Rtas: a) 0.50 b) 0.25 c) P(b) d) P(a)
3)Un director de personal tiene ocho candidatos para cubrir cuatro puestos. De éstos, cinco son hombres y tres mujeres. Si, de hecho, toda combinación de candidatos tiene las mismas probabilidades de ser elegido, ¿ cuál es la probabilidad de que ninguna mujer sea contratada? Rta: 5/70

4)Se estima que el 48% de las licenciaturas son obtenidas por mujeres y que el 17,5% de todas las licenciaturas son en empresariales. El 4,7% de todas las licenciaturas corresponden a mujeres que se gradúan en empresariales. ¿Son los sucesos “el licenciado es una mujer” y “el licenciado lo es en empresariales” independientes estadísticamente? Rta: No

5)Se pidió a un analista financiero evaluar las perspectivas de beneficio de siete compañías para el próximo año, y ordenarlas con respecto a las previsiones correspondientes al crecimiento del beneficio.
a)¿ Cuántas ordenaciones diferentes son posibles?. b) Si, de hecho, simplemente se supone una determinada ordenación, ¿cuál es la probabilidad de que esta suposición sea correcta?.

Rtas: 5.040. 1/5040


6)Una compañía tiene 50 agentes de ventas. Decide que se premie con unas vacaciones en las Islas Canarias al mejor agente durante el año anterior, mientras que el segundo mejor agente ganará unas vacaciones en Benidorm. A los otros agentes se les exigirá que asistan a una conferencia sobre métodos modernos de venta en Burgos. ¿Cuántos resultados son posibles? Rta: 2450

7)Un analista de valores asegura que dada una lista determinada de seis títulos, es posible predecir, en el orden correcto, los tres que mejor se comportarán durante el siguiente año. ¿Cuál es la probabilidad de acertar la selección correcta por casualidad? Rta: 1/120

8)Un torneo de baloncesto cuenta con la participación de cinco equipos. Se pide predecir, por orden, los tres primeros equipos al final de la competición.

Ignorando la posibilidad de empates, calcular el número de predicciones distintas que pueden ser hechas. ¿Cuál es la probabilidad de hacer la predicción correcta por casualidad?

Rta: 1/60
9)Un alto cargo de una compañía decide que en el futuro se divida el presupuesto de publicidad entre dos agencias. Ocho son las agencias que se están considerando para este trabajo. ¿Cuántas son las posibles elecciones de dos agencias? Rta. 28
10)Un equipo de trabajadores formados por dos artesanos y cuatro albañiles debe ser constituido para un proyecto, disponiéndose de un total de un total de cinco artesanos y seis albañiles.


  1. ¿Cuántas son las distintas combinaciones posibles?

  2. El hermano de uno de los artesanos es un albañil. Si el equipo es elegido al azar, ¿cuál es la probabilidad de que los dos hermanos sean escogidos?

  3. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de los dos hermanos sea escogido?

Rtas: a)150 b) 0.27 c) 0.20
11)Una compañía mutualista tiene seis fondos de inversión en el mercado estadounidense y cuatro en mercados de otros países. Un cliente quiere invertir en dos fondos estadounidenses y en dos fondos de los otros países.

  1. ¿Cuántos conjuntos distintos de fondos de esta compañía podría escoger el inversor?

  2. Sin saberlo el inversor, uno de los fondos estadounidenses y uno de los correspondientes a otros países tendrá muy malos resultados el año que viene. Si el cliente elige sus inversiones al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que elija al menos uno de estos fondos?

Rta: a) 90 b) 0.67
12)Se estimó que un 30% de los estudiantes de último curso de un campus universitario estaban seriamente preocupados por sus posibilidades de encontrar trabajo, el 25% por sus notas y el 20% por ambas cosas. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante de último curso elegido al azar en el campus esté seriamente preocupado por al menos una de las dos cosas? Rta.0,35

13)El propietario de una tienda de música sabe que el 30% de sus clientes pide ayuda a los dependientes y que el 20% hace una compra antes de abandonar el local. Además sabe que el 15% de los clientes pide ayuda y hace una compra. ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente haga al menos una de estas dos cosas? Rta. 0,35

14)Teniendo en cuenta los datos del ejercicio anterior, considera los sucesos “el cliente pide ayuda” y “el cliente hace una compra”. Responde a las siguientes preguntas y justifica tus respuestas en términos de probabilidades de los sucesos relevantes.


  1. ¿Son los dos sucesos mutuamente excluyentes? Rta. NO

  2. ¿Son los dos sucesos colectivamente exhaustivos? Rta. NO

  3. ¿Son los dos sucesos independientes estadísticamente? Rta. NO

15)Una empresa de venta por correo considera tres posibles errores al enviarse un pedido:



A: el artículo enviado no es el solicitado

B: el artículo se extravía

C: el artículo sufre desperfectos en el transporte

Supóngase que el suceso A independiente de los sucesos B y C y que los sucesos B y C son mutuamente excluyentes. Las probabilidades de los sucesos individuales son P(A)=0.02, P(B)=0.01y P(C)=0.04. Calcula la probabilidad de que uno de estos errores ocurra para al menos un pedido escogido al azar. Rta 0.069

16)Un estudio de mercado en una ciudad indica que, durante cualquier semana, el 18% de los adultos vieron un programa de televisión orientado a temas financieros y empresariales, el 12% leen una publicación orientada a esta temática y el 10% realizan ambas actividades.


  1. ¿Cuál es la probabilidad de que un adulto de esta ciudad, que ve el programa de televisión, lea la publicación mencionada?

  2. ¿Cuál es la probabilidad de que un adulto de esta ciudad, que lee la publicación, vea dicho programa de televisión?

Rta: a)0.56 b) 0.83
17)Un inspector examina los artículos procedentes de una cadena de montaje. Sus antecedentes revelan que acepta únicamente un 8% de artículos defectuosos. Se sabe también que un 1% de los artículos de la cadena de montaje son defectuosos y aceptados por el inspector.

¿Cuál es la probabilidad de que un artículo de la cadena de montaje elegido al azar sea defectuoso?. Rta. 0,125

18)Se le entrega a un analista una lista de cuatro acciones y cinco bonos. Se le pide que prediga, por orden y por separado, las dos acciones y los dos bonos que otorgarán mayor rentabilidad durante el próximo año. Supongamos que estas predicciones son hechas aleatoriamente y que son independientes una de la otra. ¿Cuál es la probabilidad de que sus predicciones sean correctas en al menos uno de los dos casos?

19)Un analista de bolsa analiza las perspectivas de las acciones de un gran número de compañías.

Cuando se investigó el comportamiento de estas acciones un año antes, se descubrió que el 25% experimentaron un crecimiento superior a la media, el 25% inferior y el 50% restante se mantuvieron alrededor de la media. El 40% de los valores que crecieron por encima de la media fueron clasificados como” buenas adquisiciones” por el analista, al igual que el 20% de las que crecieron alrededor de la media y el 10% de las que tuvieron un crecimiento inferior. ¿Cuál es la probabilidad de que un valor clasificado como “buena adquisición”por el analista crezca por encima de la media del mercado?. Rta : 0.44

20) Un estudio realizado para un hipermercado clasifica los clientes en aquellos que visitan el establecimiento de una manera frecuente u ocasional y en aquellos que adquieren regularmente, ocasionalmente o nunca productos alimenticios. La siguiente tabla presenta las proporciones correspondientes a cada uno de los seis grupos.



FRECUENCIA DE VISITA ADQUISICIÓN DE PRODUCTOS

ALIMENTICIOS

REGULAR OCASIONAL NUNCA

FRECUENTE 0.12 0.48 0.19
INFRECUENTE 0.07 0.06 0.08
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente visite frecuentemente el hipermercado y compre regularmente productos alimenticios?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente que nunca compra productos alimenticios visite el hipermercado frecuentemente?

c) ¿Son independientes los sucesos”nunca compra productos alimenticios” y “visita el hipermercado frecuentemente”

d) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente que visita de manera infrecuente el hipermercado compre regularmente productos alimenticios?

e) ¿Son los sucesos”compra regularmente productos alimenticios” y “visita el hipermercado de manera infrecuente” independientes?.

f) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente visite frecuentemente el hipermercado?

g) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente nunca compre productos alimenticios?

h) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente visite el establecimiento frecuentemente y/o nunca compre productos alimenticios?

Rtas: a) 0.12 b) 0.7037 c) No d) 0.33 e) No f) 0.79 g) 0.27 h) 0.87

21)Se les preguntó a los suscriptores de un periódico local si leían regularmente, ocasionalmente o nunca la sección de economía, y también si habían realizado operaciones en bolsa durante el año anterior.

Las proporciones obtenidas en la encuesta figuran en la siguiente tabla.
ADQUISICIONES EN BOLSA LECTURA DE LA SECCION

DE ECONOMIA
REGULARMENTE OCASIONALMENTE NUNCA
Sí 0.18 0.10 0.04
No 0.16 0.31 0.21

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un suscriptor elegido al azar no lea nunca la sección de economía?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que un suscriptor elegido al azar haya realizado operaciones en bolsa durante el pasado año?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que un suscriptor que lee la sección de economía haya realizado operaciones en bolsa durante el año pasado?

d) ¿Cuál es la probabilidad de que un suscriptor que ha realizado operaciones en bolsa durante el pasado año no lea nunca la sección de economía?

d)¿Cuál es la probabilidad de que un suscriptor que no lee regularmente la sección de economía haya realizado operaciones en bolsa durante el pasado año?


22) Se les preguntó a los estudiantes de una clase de estadística cuáles eran las notas que esperaban obtener en el curso y si habían o no tratado de resolver problemas aparte de los asignados por el profesor. En la tabla se escogen las proporciones correspondientes a cada uno de los ocho grupos resultantes.



PROBLEMAS ADICIONALES NOTA ESPERADA


SOBRESALIENTE NOTABLE APROBADO SUSPENSO


Sí 0.12 0.06 0.12 0.02

No 0.13 0.21 0.26 0.08


a) Calcular la probabilidad de que un estudiante elegido al azar haya tratado de resolver problemas adicionales.

b) Calcular la probabilidad de que un estudiante elegido al azar espere una nota sobresaliente.

c) Calcular la probabilidad de que un estudiante elegido al azar, que haya realizado problemas adicionales, espere una nota sobresaliente.

d) Calcular la probabilidad de que un estudiante elegido al azar, que espere un sobresaliente, haya realizado problemas adicionales.

e) Calcular la probabilidad de que un estudiante elegido al azar, que haya tratado de resolver problemas adicionales, espere un notables.

f) ¿Son los sucesos “ha realizado problemas adicionales” y “espera un notable” independientes estadísticamente?


Rtas: a) 0.32 b) 0.25 c) 0.375 d) 0.48 e ) 0.1875 f) no

23)Un fabricante produce paquetes de caramelos que contienen diez unidades cada uno. Se utilizan dos máquinas para ello. Después de haberse completado la elaboración de un buen número de lotes, se descubre que una de las máquinas, que lleva a cabo el 40% de la producción total, tiene un defecto que ha conducido a la introducción de impurezas en el 10% de las unidades de caramelos que elabora. De un paquete de caramelos se extrae una unidad al azar y se analiza. Si dicha unidad no contiene ninguna impureza, ¿cuál es la probabilidad de que proceda de un paquete producido por la máquina defectuosa? Rta. 0,375

24)Imagina que tienes un amigo inteligente que no ha estudiado probabilidad.¿Cómo le explicarías la distinción entre sucesos mutuamente excluyentes y sucesos independientes?

Acompaña tu respuesta de ejemplos adecuados.

25)¿Son las siguientes afirmaciones verdaderas o falsas? Justifica tu respuesta.

a) El complementario de la unión de dos sucesos es igual a intersección de los complementarios

b) Si la reacción del grupo es desfavorable, ¿cuál es la probabilidad de que las ventas sean bajas?

c) Si la reacción del grupo es neutral o favorable, ¿cuál es la probabilidad de que las ventas sean bajas?

d) Si las ventas son bajas,¿cuál es la probabilidad de que la reacción del grupo haya sido neutral o favorable?

Variables Aleatorias

1)Una compañía municipal de autobuses ha comenzado a operar en un nuevo trayecto. Se contó el número de pasajeros de este trayecto en el servicio de primera hora de la mañana.

La tabla adjunta muestra las proporciones sobre todos los días de la semana.
Número de viajeros 0 1 2 3 4 5 6 7

Proporción 0.02 0.12 0.23 0.31 0.19 0.08 0.03 0.02
a) ¿Cuál es la probabilidad de que en un día de la semana elegido aleatoriamente haya al menos cuatro viajeros en este servicio?

b) Se eligen aleatoriamente dos días de la semana ¿cuál es la probabilidad de que en ambos días haya menos de tres viajeros en este servicio?

Rtas: a) 0.32 b) 0.1369

2)a) Un gran cargamento contiene un 10% de artículos defectuosos. Se eligen al azar dos artículos del cargamento y se examinan. Sea X la variable aleatoria que representa el número de artículos defectuosos encontrados. Hallar la función de probabilidad de esta variable aleatoria.

b) Un cargamento de 20 artículos contiene dos defectuosos. Se eligen al azar dos artículos del cargamento y se examinan. Sea Y la variable aleatoria que denota el número de artículos defectuosos encontrados. Hallar la función de probabilidad de esta variable aleatoria. Explicar por qué la respuesta es diferente de la del apartado(a).Rtas: 0.8091,;0.1818; 0.0091

b)0.8053; 0.1895; 0.0053


3)Un estudiante necesita conocer algunos detalles sobre el trabajo de clase que debe presentar el próximo día, y decide llamar a sus compañeros para preguntarles. Cree, que en cada llamada, la probabilidad de obtener la información necesaria es 0.40.

Decide seguir llamando a sus compañeros hasta que consiga la información. Sea X la variable aleatoria que representa el número de llamadas necesarias para obtener la información,

a) Hallar la función de probabilidad de X.

b) Hallar la función de probabilidad acumulada de X.

c) Calcular la probabilidad de que se necesiten al menos tres llamadas.

Rtas: Px= 0.40 . 0.60x-1 c) 0.7840

4)Un distribuidor de periódicos cuenta con un pequeño número de clientes. Cada ejemplar del periódico cuesta 70 pesetas, y lo vende a 90 pesetas

Los ejemplares que le sobran al final del día no tienen valor y son destruidos. Una demanda de ejemplares que no puede ser atendida porque se ha agotado el stock se considera como una pérdida de 5 pesetas en clientela. En la tabla aparece la distribución de probabilidad de la demanda de periódicos en un día. Si el distribuidor define el beneficio total como el ingreso total por la venta de periódicos menos el costo total de los periódicos encargados, menos la pérdida en clientela debido a la demanda insatisfecha, ¿cuántas copias debe pedir diariamente para maximizar el beneficio esperado?
DEMANDA 0 1 2 3 4 5

PROBABILIDAD 0.12 0.16 0.18 0.32 0.14 0.08

Rtas: pidiendo 1 periodico minimiza la perdida.


5)Un inversor está considerando tres estrategias para una inversión de 1.000 dólares. Se estima que los posibles rendimientos son los siguientes: ESTRATEGIA 1 Un beneficio de 10.000 dólares con probabilidad 0.15 y una pérdida

de 1.000 dólares con probabilidad 0.85.

ESTRATEGIA 2 Un beneficio de 1.000 dólares con probabilidad 0.50 y una pérdida de

500 dólares con probabilidad 0.50.

ESTRATEGIA 3 Un beneficio seguro de 400 dólares.
¿Qué estrategia tiene mayor beneficio esperado?

¿Aconsejarías al inversor que adoptara necesariamente esta estrategia?



Distribución Binomial, Distribución de Poisson y Distribución Normal

1) Sea X una variable aleatoria con distribución binomial y parámetros n y p. Mediante la función de probabilidad binomial, verificar que p ( n - x ; n , 1 – p ) = p (x ; n , p ).

2) En una distribución binomial , sea X el número de éxitos obtenidos en diez ensayos donde la probabilidad de éxito en cada uno es de 0.8. Con el resultado del problema anterior, demostrar que la probabilidad de lograr de manera exacta seis éxitos es igual a la probabilidad de tener cuatro fracasos.
.

3) Mediante el empleo de la función de la probabilidad binomial, verificar la siguiente fórmula de recursión :



(n –x )p

p(x + 1; n, p) =----------------- --- p(x; n, p).

( x + 1)(1 – p)


4) Sea X una variable aleatoria con distribución binomial y parámetros n = 8 y p = 0.4. Emplear la fórmula de recursión del problema anterior para obtener las probabilidades puntuales de los valores de X. Hacer una gráfica de la función de probabilidad.

5) Sea X una variable aleatoria distribuida binomialmente con n = 10 y p = 0.5.


a) determinar las probabilidades de que X se encuentre dentro de una desviación estándar de la media y a dos desviaciones estándares de la media.
b) ¿Cómo cambiarían las respuestas de a) si n = 15 y p = 0.4?

6) Un vendedor de seguros sabe que la oportunidad de vender una póliza es mayor mientras más contactos realice con clientes potenciales. Si la probabilidad de que una persona compre una póliza de seguro después de la visita, es constante e igual a 0.25, y si el conjunto de visitas constituye un conjunto independiente de ensayos, ¿cuántos compradores potenciales debe visitar el vendedor para que la probabilidad de vender por lo menos una póliza sea de 0.80?Rta 6

7) Mediante la probabilidad de Poisson, demostrar la siguiente fórmula de recursión:


P(x + 1;  )= -------- p(x; )

(x + 1)

8) Sea X una variable aleatoria de Poisson con parámetro  = 2. Emplear la fórmula del problema anterior para determinar las probabilidades puntuales de X = 0, 1,2,3,4,5,6,7 y 8, y hágase una grafica de función de probabilidad. Rtas: 0.135; 0.2707; 0.2707; 0.1802........

9) El número de clientes que llega a un banco es una variable aleatoria de Poisson. Si el número promedio es de 120 por hora, ¿cuál es la probabilidad de que en un minuto llegue por lo menos tres clientes? ¿Puede esperarse que la frecuencia de llegada de los clientes al banco sea constante en un día cualquiera? Rta: 0.3233
10) Un director de producción sabe que el 5% de las piezas producidas en cierto proceso de fabricación tiene algún defecto. Se examinan seis de estas piezas, cuyas características se asumen independientes.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna de estas piezas tenga un defecto?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que una de estas piezas tenga un defecto?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos dos de estas piezas tengan un defecto?

Rta: a) 0.7351 b) 0.2321 c) 0.0328

11) Una compañía se dedica a la instalación de nuevos sistemas de calefacción central. Se ha comprobado que en el 15% de las instalaciones es necesario volver a realizar algunas modificaciones. En una semana determinada se realizaron seis instalaciones. Asumir independencia en los resultados de esas instalaciones.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea necesario volver en todos los casos?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que no sea necesario volver en ninguno de los casos?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que sea necesario volver en más de uno?

Rta: a) 0.00001 b) 0.377 c)0.2236


12) Un concesionario de automóviles monta una nueva campaña de promoción, en la que promete que los compradores de automóviles nuevos pueden, si están descontentos por algún motivo, devolver el coche antes de dos días y recibir el importe íntegro. Se ha estimado que el costo que debe soportar el concesionario por cada devolución es de 25.000 pesetas. El concesionario estima que el 15% de los compradores devolverán los automóviles. Supongamos que durante el período de campaña se venden 50 automóviles.

a) Hallar la media y la desviación típica del número de automóviles que se devolverán.

b) Hallar la media y la desviación típica del costo total que se derivará a estas 50 ventas.

Rta: 187.500 63.121

13) Una compañía recibe un pedido muy grande. Se analiza una muestra aleatoria de 16 artículos, y se acepta un pedido si menos de dos resultan defectuosos. ¿Cuál es la probabilidad de aceptar un envío que contenga:


  1. Un 5% de artículos defectuosos. Rta: 0.8107

  2. Un 15% de artículos defectuosos. Rta: 0.2840

  3. Un 25% de artículos defectuosos. Rta: 0.0635

14) Sea Z una variable aleatoria normal estándar.

a) Hallar P(Z < 1,20)

b) Hallar P(Z >1,33)

c) Hallar P(Z < -1,70)

d) Hallar P(Z > -1,00)

e) Hallar P (1.20 < Z< 1,33)

f) Hallar P (-1,70 < Z < 1,20)

g) Hallar P(-1,70 < Z < -1,00)
Rtas. a)0,8849 b)0,0918 c)0,0446 d)0,8413 e)0,0233 f)0,8403 g)0,1141
15) Sea Z una variable aleatoria normal estándar.


  1. a) Hallar el número z tal que Z es menor que z con probabilidad 0,7.

  2. b) Hallar el número z tal que Z es menor que z con probabilidad 0,25.

c) Hallar el número z tal que Z es mayor que z con probabilidad 0,02.

d) Hallar el número z tal que Z es mayor que z con probabilidad 0,6.


Rtas. a)0,53 b)-0,68
16) Se sabe que el dinero que se gastan al año los estudiantes de determinada universidad en libros de texto sigue una distribución normal de media 38.000 pesetas y desviación típica 5.000 pesetas.

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante elegido aleatoriamente gaste menos de 40.000 pesetas en libros de texto al año?

  2. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante elegido aleatoriamente gaste más de 36.000 pesetas en libros de texto al año?

  3. Dibujar un gráfico que ilustre que las probabilidades en los apartados (a) y (b) son iguales.

  4. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante elegido aleatoriamente gaste entre 30.000 y 40.000 pesetas en libros de texto al año?

  5. Se quiere encontrar un rango de gastos en libros en el cual se incluyan el 80% de los estudiantes de esta universidad. Explicar porque pueden encontrarse infinitos rangos que cumplan esta condición, y encontrar el rango mas corto posible.

Rta: a) 65.54% b) 65.54% d) 60.06% e) 31.60 - 44.40
17) La vida útil de un neumático de determinada marca sigue una distribución normal con media 35.000 kilómetros y desviación típica 4.000 kilómetros.

  1. ¿Qué proporción de estos neumáticos tiene un tiempo de vida superior a 38.000 kilómetros?

  2. ¿Qué proporción de estos neumáticos tiene un tiempo de vida inferior a 32.000 kilómetros?

  3. ¿Qué proporción de estos neumáticos tiene un tiempo de vida entre 32.000 y 38.000 kilómetros?

  4. Dibujar un gráfico con la función de densidad de los tiempos de vida, ilustrando




    1. Por qué las respuestas de las preguntas (a) y (b) son iguales

    2. Por qué las respuestas de las preguntas (a), (b) y (c) suman uno.

18) Una compañía produce un compuesto químico y está preocupada por su contenido de impurezas. Se estima que el peso de las impurezas por lote se distribuye según una normal con media 12,2 gramos y desviación típica 2,8 gramos. Se elige un lote al azar.




  1. ¿Cuál es la probabilidad de que contenga menos de 10 gramos de impurezas?

  2. ¿Cuál es la probabilidad de que contenga más de 15 gramos de impurezas?

  3. ¿Cuál es la probabilidad de que contenga entre 12 y 15 gramos de impurezas?

  4. ¿Es posible, sin hacer los cálculos, deducir cuál de las respuestas a las preguntas (a) y (b) será mayor?, ¿cómo?

19) Las notas obtenidas en un examen siguen una distribución normal. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante elegido al azar obtenga una nota mayor que la nota media más 1,5 veces la desviación típica?


20) Un ejecutivo de una cadena de televisión está estudiando propuestas para nuevas series. A su juicio, la probabilidad de que una serie tenga una audiencia mayor que 17,8 es 0,25, además la probabilidad de que la serie tenga una audiencia mayor que 19,2 es 0,15. Si la incertidumbre de este ejecutivo puede representarse mediante una variable aleatoria normal. ¿Cuál es la media y la desviación típica de esta distribución?

Rtas. Media 15,175 desvío 3,88

Distribuciones Muestrales

1) La duración de las bombillas producidas por un cierto fabricante tiene una media de mil doscientas horas y una desviación típica de cuatrocientas horas.

La población sigue una distribución normal. Supongamos que tú has comprado nueve bombillas, que pueden ser consideradas como una muestra aleatoria de la producción del fabricante.


  1. ¿Cuál es la media de la media muestral de la duración de estas bombillas?

  2. ¿Cuál es la varianza de la media muestral?

  3. ¿Cuál es el error estándar de la media muestral?

  4. ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo medio de duración de tus bombillas sea de menos de mil cincuenta horas?

Rta: a) 1200 b) 17.777 c) 133.33 d)0.13
2) El precio medio de venta de casas nuevas durante el último año en cierta ciudad americana fue de 115.000 dólares. La desviación típica de la población fue de 25.000 dólares. Se toma una muestra aleatoria de 100 casas nuevas de esta ciudad.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral de los precios de venta sea menor que 110.000 dólares?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral de los precios de venta esté entre 113.000 dólares y 117.000 dólares?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral de los precios de venta esté entre 114.000 y 116.000 dólares?

d) Sin hacer cálculos, razonar en cuál de los siguientes rangos resulta más probable que se encuentre la media muestral de los precios de venta:
113.000 dólares-115.000 dólares,

114.000 dólares-116.000 dólares,

115.000 dólares-117.000 dólares,

116.000 dólares-118.000 dólares.


e)Supongamos que, después de haber realizado los cálculos anteriores, un amigo tuyo afirma que la distribución poblacional de los precios de venta de casas nuevas de esta ciudad es casi con toda seguridad no normal. ¿Qué podrías contestarle?

3) Se ha tomado una muestra de 16 directores de oficinas de corporaciones de una gran ciudad, con el fin de estimar el tiempo medio diario que emplean en desplazarse para ir hasta su trabajo. Supongamos que la distribución de dichos tiempos en la población sigue una normal con media de 87 minutos y desviación típica de 22 minutos

.

a) ¿Cuál es el error estándar de la media muestral de los tiempos de desplazamiento?



b) ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral sea menor que 100 minutos?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral sea mayor que 80 minutos?

d)¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral tome un valor que esté entre 85 y95 minutos?

e)Supongamos que se toma una segunda muestra de quince directores, independiente de la anterior. Sin hacer los cálculos, razonar si las probabilidades calculadas en los aparados (b), (c) y (d) serán mayores, menores o iguales para esta segunda muestra. Utilizar gráficos para ilustrar las respuestas.

4) Supongamos que la desviación típica de la cuota pagada mensualmente por los estudiantes de cierta ciudad norteamericana es de 40 dólares. Se toma una muestra de 100 estudiantes con el fin de estimar la renta media pagada mensualmente por el total de la población de estudiantes.


  1. ¿Cuál será error estándar de la media muestral de la cuota mensual?

  2. ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral exceda a la media poblacional en más de 5 dólares?

  3. ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral esté más de 4 dólares por debajo de la media poblacional?

  4. ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral difiera de la media poblacional en más de tres dólares?

5) El dueño de una tienda de discos ha comprobado que el 20% de los clientes que entran en su tienda realizan una compra. Cierta mañana, entraron en esta tienda 180 personas, que pueden ser consideradas como una muestra aleatoria de todos sus clientes.



  1. ¿Cuál será la media de la proporción muestral de clientes que realizaron alguna compra?

  2. ¿Cuál es la varianza de la proporción muestral?

  3. ¿Cuál es el error estándar de la proporción muestral?

  4. ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción muestral sea menor que 0,15?

Rta: 0.20 b) 0.000889 c) 0.0278 d) 0.0465
6) Una corporación ha recibido 120 solicitudes de trabajo de estudiantes que acaban de terminar su licenciatura en economía. Suponiendo que estas solicitudes pueden ser consideradas como una muestra aleatoria de todos los licenciados, ¿cuál es la probabilidad de que entre un 35% y un 45% de las solicitudes correspondan a mujeres si se sabe que el 40% de los licenciados en economía que acaban de terminar su carrera son mujeres? Rta 0.7372

7) Cuando un proceso de producción está funcionando correctamente, la resistencia en ohmios de los componentes que produce sigue una distribución normal con desviación típica 3,6. Se toma una muestra aleatoria de cuatro componentes. ¿Cuál es la probabilidad de que la varianza muestral sea superior a 30?

Rta: entre 0.05 y 0.10
8) Las rentabilidades mensuales de cierto tipo de acciones son independientes una de las otras, y siguen una distribución normal con desviación típica 1,7.

Se toma una muestra de doce meses.



  1. Hallar la probabilidad de que la desviación típica muestral sea menor que 2,5.

  2. Hallar la probabilidad de que la desviación típica muestral sea mayor que 1.


Intervalos de confianza

1) Un proceso produce bolsas de azúcar refinado. El peso del contenido de estas bolsas tiene una distribución normal con desviación típica 15 gramos. Los contenidos de una muestra aleatoria de 25 bolsas tienen un peso medio de 100 gramos. Calcular un intervalo de confianza del 95% para el verdadero peso medio de todas las bolsas de azúcar producidas por el proceso.

2) Se sabe que el peso de los ladrillos producidos por una determinada fábrica sigue una distribución normal con una desviación típica de 0,12 kilos. En el día de hoy se extrae una muestra aleatoria de sesenta ladrillos cuyo peso medio es de 4,07 kilos.


  1. Calcular un intervalo de confianza del 99% para el peso medio de los ladrillos producidos hoy.

  2. Sin realizar los cálculos , determinar si un intervalo de confianza del 95% para la media poblacional tendría mayor, menor o la misma longitud que el calculado en el apartado (a).

  3. Se decide que mañana se tomará una muestra de 20 ladrillos. Sin realizar los cálculos, determinar si un intervalo de confianza del 99% para el peso medio de los ladrillos producidos mañana tendría mayor, menor o la misma longitud que el calculado en el apartado (a).

  4. Se sabe que la desviación típica poblacional para la producción de hoy es de 0,15 kilos. Sin realizar los cálculos, determinar si un intervalo de confianza del 99% para el peso medio de los ladrillos producidos hoy tendría mayor, menor o la misma longitud que el calculado en el apartado (a).

Rta: a) 4.03 - 4.10 b) menor c) mayor d) mayor
3) Un directivo de cierta empresa ha comprobado que los resultados obtenidos en los tests de aptitud por los solicitantes de un determinado puesto de trabajo sigue una distribución normal con una desviación típica de 32,4 puntos. La media de las calificaciones de una muestra aleatoria de nueve tests es de 187,9 puntos.

  1. Calcular un intervalo de confianza del 80% para la calificación media poblacional del grupo de solicitantes actual.

  2. A partir de estos resultados muestrales, un estadístico calcula para la media poblacional un intervalo de confianza que va desde 165,8 a 210,0 puntos. Calcular el contenido probabilístico de dicho intervalo.

Rta: 174.07 – 201.72 b) 95.96%
4) Se tomó una muestra aleatoria de 1.562 estudiantes de marketing en cierta universidad y se les pidió que calificasen en una escala de uno (totalmente en desacuerdo) a siete (totalmente de acuerdo) la siguiente afirmación:”La mayoría de los anuncios publicitarios insultan la inteligencia del consumidor medio”. La media y la desviación típica de las respuestas fue de 3,92 y 1,57 respectivamente. Calcular un intervalo de confianza del 95% para la calificación media poblacional. Rta: 3.84 – 3.99

5) Un método diseñado para medir la eficacia de los textos escritos es empleado para medir la comprensión de las noticias financieras. El procedimiento consiste en un test al que es sometido una muestra aleatoria de 352 contables; una nota de 57 sobre 100 supone un adecuado entendimiento. La calificación media y la desviación típica de la muestra fueron de 60,41% y 11,28%, respectivamente.

Calcular un intervalo de confianza del 90% para la calificación media poblacional y comentar el resultado obtenido.

6) El ayuntamiento de León está considerando la posibilidad de levantar una estatua en memoria de un famoso filántropo de la ciudad, lo cual conduciría a una subida de la contribución urbana. Una muestra aleatoria de 610 contribuyentes leoneses revela que el 50,7% de los encuestados está en contra de dicha medida. Hallar un intervalo de confianza del 99% para la proporción de la población que desaprueba el levantamiento de la estatua. Rta : 0.455 - .559


7) El 47,9% de una muestra aleatoria de 323 trabajadores afiliados a algún sindicato estaban de acuerdo o muy de acuerdo con la siguiente afirmación:” Los trabajadores sindicados deberían negarse a trabajar cuando se contrata para el trabajo a un trabajador no afiliado”. Utilizando esta información, un experto en estadística calculó un intervalo de confianza de 45,8% y 50,0% para el porcentaje poblacional de trabajadores afiliados a sindicatos que compartían esta opinión. Calcular el nivel de confianza asociado a este intervalo. Rta: 0.40
8) De una muestra aleatoria de 95 pequeñas empresas fabricantes, 29 señalaron las mejoras en la calidad como las más importantes iniciativas para incrementar la competitividad de sus productos.

  1. Calcular un intervalo de confianza del 99% para la proporción poblacional.

  2. Sin hacer los cálculos, determinar si un intervalo de confianza del 90% tendría una longitud mayor, menor o igual a la del intervalo calculado en el apartado (a).

9) Un fabricante quiere estimar la variabilidad de los niveles de impureza de los envíos de materia prima de un determinado proveedor. Extrae para ello una muestra de quince envíos y comprueba que la desviación típica muestral en la concentración de los niveles de impureza es de 2,36%. Supóngase que la población es normal.



  1. Calcular un intervalo de confianza del 95% para la varianza poblacional.

  2. Sin hacer los cálculos, determinar si un intervalo de confianza del 99% tendría una longitud mayor, menor o igual a la del intervalo calculado en el apartado (a).

Rta: a)2.99 – 13.87 b) mas ancho

10) La vida media de una muestra aleatoria de 66 ruedas de una determinada marca resultó ser 32.000 kilómetros y su desviación típica 6.400. Supóngase que la distribución poblacional es normal.



  1. Calcular un intervalo de confianza del 90% para la media poblacional.

  2. Calcular un intervalo de confianza del 90% para la desviación típica poblacional.

11) Una muestra aleatoria de 15 pastillas para el dolor de cabeza tiene una desviación típica de 0,8% en la concentración del ingrediente activo. Hallar un intervalo de confianza del 90% para la varianza poblacional. Rta: 0.61 – 1.17


Test de hipótesis

1)Cuando un proceso de producción de bolas de rodamientos funciona correctamente, el peso de las bolas tiene una distribución normal con media cinco gramos y desviación típica 0,1 gramos. Se lleva a cabo una modificación del proceso, y el director de la fábrica sospecha que esto ha incrementado el peso medio de las bolas producidas, sin modificar la desviación típica. Se toma una muestra aleatoria de 16 bolas, y se comprueba que su peso medio es de 5,038 gramos. Contrastemos a los niveles de significación 0,05 y 0,10 (es decir, al 5% y al 10%) la hipótesis nula de que el peso medio en la población es 5 gramos frente a la alternativa de que es mayor. Rta T=1.52 Acepto para  = 0.05 y Rechazo para  = 0.10 Pvalue= 0.0643

2)Como parte de un proceso de ensamblaje, se usa un taladro para hacer agujeros en una lámina de metal. Cuando el taladro funciona adecuadamente, los diámetros de estos agujeros tienen una distribución normal con media dos centímetros y desviación típica 0,06 centímetros. Periódicamente, se miden los diámetros de una muestra aleatoria de agujeros para controlar que el taladro funciona adecuadamente. Asumamos que la desviación típica no varía. Una muestra aleatoria de nueve medidas da un diámetro medio de 1,95 centímetros. Contrastaremos la hipótesis nula de que la media poblacional es dos centímetros frente a la alternativa de que no sea así. Usaremos un nivel de significación del 5%, y encontraremos también el p-valor del contraste. Rta T= -2.5 Rechazo H0. Pvalue=0.0031 x 2= 0.006

3)Una compañía que recibe cargamentos de pilas, analiza una muestra aleatoria de nueve de ellas antes de aceptar un envío. La compañía considera que el verdadero tiempo medio de vida de las pilas del cargamento debe ser al menos de cincuenta horas.

Por su experiencia en el pasado, considera sensato asumir que la distribución poblacional de los tiempos de vida es normal, con desviación típica tres horas. Para un cargamento particular, el tiempo medio de vida en una muestra aleatoria de nueve pilas fue 48,2 horas. Contrastar, al nivel del 10%, la hipótesis nula de que el tiempo medio de vida en la población es al menos cincuenta horas.Rta T= -1.8 Rechazo H0

4)Un fabricante afirma que mediante el uso de un aditivo en la gasolina, los automóviles podrían recorrer por término medio, tres kilómetros más por litro. Se usa una muestra aleatoria de 100 automóviles para evaluar este producto. El incremento medio muestral alcanzado fue 2,4 kilómetros por litro, con una desviación típica de 1,8 kilómetros por litro. Contrastar la hipótesis nula de que la media poblacional es al menos 3 kilómetros por litro. Hallar e interpretar el p-valor de este contraste. Rta T= -3.33


5)Después de la creación de la Pension Benefit Guarantee Corporation en Estados Unidos, se examinaron los cambios porcentuales en las pensiones prometidas de 76 planes de pensiones elegidos aleatoriamente. El cambio medio porcentual en la muestra fue 0,078 y la desviación típica 0,201. Hallar e interpretar el p-valor del contraste para la hipótesis nula de que el cambio porcentual en la población es 0 frente a una alternativa bilateral.Rta T=3.38
6)Se planteó un problema de predicción a una muestra aleatoria de 170 personas. A cada miembro de la muestra se le presentaron dos formas de predecir el próximo valor de una variable económica. Se les proporcionaron los 20 últimos valores de esta variable en valores numéricos y en un gráfico de puntos.

Se pidió a los sujetos que hiciesen una predicción numérica, y otra sobre el gráfico, del próximo valor de la variable. Se midieron los errores absolutos de las predicciones. La muestra consistió, entonces, en 170 diferencias en los errores de predicción absolutos (numérico menos gráfico). La media muestral de estas diferencias fue –2,91 con una desviación típica muestral de 11,33. Hallar e interpretar el p-valor de un contraste para la hipótesis nula de que la media poblacional de las diferencias es 0, frente a la alternativa de que es negativa ( la alternativa puede interpretarse como la hipótesis de que, en conjunto, la gente tiene más éxito en la predicción numérica que en la gráfica). Rta T= -3.35


7) A partir de una muestra aleatoria, se contrasta la hipótesis nula
Ho:o
frente a la alternativa

H1:o
Y se acepta la hipótesis nula al nivel de significación del 5%



  1. ¿Implica esto necesariamente que o está contenido en el intervalo de confianza del 95% para ?

  2. Si la media muestral observada es mayor que o, ¿implica esto necesariamente que  está contenido en el intervalo de confianza del 90% para o?

Rta. a) si b) no


8) Cuando funciona correctamente, un proceso produce frascos de champú cuyo contenido pesa, en promedio, 200 gramos. Una muestra aleatoria de nueve frascos de una remesa presentó los siguientes pesos (en gramos) para el contenido:


214 197 197 206 208

201 197 203 209


Asumiendo que la distribución de la población es normal, contrastar al nivel del 5%, la hipótesis nula de que el proceso está funcionando correctamente frente a la alternativa bilateral.

Rta: 1,741 se acepta Ho.

9) Un distribuidor de cerveza afirma que una nueva presentación, que consiste en una fotografía de tamaño real de un atleta muy famoso, incrementará las ventas del producto en los supermercados en una media de 50 cajas semanales. Para una muestra de 20 supermercados, el incremento medio en las ventas fue de 41,3 cajas con un desvío típico de 12,2 cajas. Contrastar al nivel del 5% la hipótesis nula de que la media poblacional del incremento en las ventas es al menos 50 cajas. Rta. –3,189 se rechaza Ho.

10) Con el fin de cumplir las normas establecidas, es importante que la varianza en el porcentaje de impurezas de una remesa de productos no supere el 4%. Una muestra aleatoria de 20 envíos y una varianza muestral de 5,62 en el porcentaje de impureza. Contrastar la hipótesis nula de que la varianza de la población no es mayor que 4 para un nivel de significación del 10%.

Rta. 26,695 no puede rechazarse Ho
11) Se quiere analizar la varianza en las calificaciones de los exámenes de un determinado profesor, habitualmente éstas están próximas a 300. Un nuevo profesor con una clase de 30 estudiantes calificó a los estudiantes con una varianza de 480. Contrastar la hipótesis nula de que la varianza de la población e igual a 300.

Rta. T= 46.40 Rechazo


12) Se instaló un nuevo sistema en un proceso de ensamblaje que permitió producir el siguiente número de piezas:

618 660 638 652 571 598 639 582


La dirección tiene interés en conocer la variabilidad del número de piezas producidas diariamente, y se considera negativa una varianza superior a 500. Contrastar para un nivel del 10% la hipótesis nula de que la varianza no supera 500.

Rta. 15,28 se rechaza Ho

13) De una muestra aleatoria de 802 clientes de supermercados, 378 fueron capaces de decir el precio del producto que acaban de comprar. Contrastar al 10% la hipótesis nula de que al menos la mitad de los clientes conocen los precios frente a la alternativa de que esa proporción es menor a la mitad.

Hallar el p-valor.

Rta. –1,64 se rechaza. p=0,0521

14) Una muestra aleatoria de 998 estadounidenses mostró que el 17,3% estaba en desacuerdo con la afirmación: “el capitalismo es más que un sistema económico”. Contrastar al 5% la hipótesis nula de que al menos el 25% está en desacuerdo.

Rta. –5,62 se rechaza Ho.
15) Una muestra aleatoria de 199 auditores mostró que 104 se hallaban de acuerdo con la afirmación:”el flujo de caja es una buena medida de la rentabilildad”. Contrastar al 10% la hipótesis nula de que la mitad está de acuerdo con esta afirmación, frente a la alternativa bilateral. Hallar el p=valor.

Rta. 0,64 se acepta Ho. p=0,52

16) De una muestra aleatoria de 172 propietarios de pequeños negocios, 118 manifestaron que la fuente de financiación inicial fueron sus ahorros. Contrastar la hipótesis nula de que los ahorros personales son la fuente de financiación para el 75% de los propietarios de pequeños negocios frente a la alternativa de que dicho porcentaje es menor.

Rta. –1,94 se rechaza para niveles superiores a 2,62.









Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©azrefs.org 2016
rəhbərliyinə müraciət

    Ana səhifə