Colégio pedro II unidade são cristóVÃo III 1ª SÉrie – matemática II – profº walter tadeu




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COLÉGIO PEDRO II - UNIDADE SÃO CRISTÓVÃO III

1ª SÉRIE – MATEMÁTICA II – PROFº WALTER TADEU

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2ª Lista de Trigonometria no Triângulo Retângulo - GABARITO
1. (VUNESP) Uma pessoa, no nível do solo, observa o ponto mais alto de uma torre vertical, à sua frente, sob o ângulo de 30º. Aproximando-se 40 metros da torre, ela passa a ver esse ponto sob o ângulo de 45º. A altura aproximada da torre, em metros, é
a) 44,7 b) 48,8 c) 54,6 d) 60,0 e) 65,3
Solução. Observe que foram formados dois triângulos retângulos. Em ambos o cateto oposto aos ângulos de 30º e 45º é a altura da torre. Repare que na posição 2 o triângulo é isósceles, logo h = d. Aplicando a razão trigonométrica da tangente posição 1, temos:


2. (PUCCAMP) Uma pessoa encontra-se num ponto A, localizado na base de um prédio, conforme mostra a figura adiante. Se ela caminhar 90 metros em linha reta, chegará a um ponto B, de onde poderá ver o topo C do prédio, sob um ângulo de 60°. Quantos metros ela deverá se afastar do ponto A, andando em linha reta no sentido de A para B, para que possa enxergar o topo do prédio sob um ângulo de 30°?
a) 150 b) 180 c) 270 d) 300 e) 310
Solução. Observe que quanto mais próximo do prédio, maior a inclinação do olhar. Significa que se o ângulo for de 30º, o observador estará mais afastado do prédio. A altura do prédio não se altera. Considerando essa distância total como (d + 90m) e aplicando a razão trigonométrica da tangente, temos:

3. (PUCCAMP) A figura a seguir é um corte vertical de uma peça usada em certo tipo de máquina. No corte aparecem dois círculos, com raios de 3cm e 4cm, um suporte vertical e um apoio horizontal. A partir das medidas indicadas na figura, conclui-se que a altura do suporte é:


a) 7cm b) 11cm c) 12cm d) 14cm e)16 cm
Solução. A altura do triângulo retângulo com ângulo de 30º vale a soma (h + 4). Aplicando a razão trigonométrica do seno, temos:

A altura do suporte será (h + 3) = (8 + 3) = 11cm.

4. (UFRS) Um barco parte de A para atravessar o rio. A direção de seu deslocamento forma um ângulo de 120° com a margem do rio. Sendo a largura do rio 60m, a distância, em metros, percorrida pelo barco foi de:

a) 40 b) 40 c) 45 d) 50 e) 60
Solução. Identificando o suplementar de 120º, temos um triângulo retângulo onde a medida pedia é a hipotenusa. Aplicando a razão relativa ao seno, temos:

5. Um observador vê um edifício, construído em terreno plano, sob um ângulo de 60º. Se ele se afastar do edifício mais 30m, passará a vê-lo sob ângulo de 45º. Calcule a altura do edifício.
Solução. Repare que o triângulo retângulo com ângulo de 45º é isósceles e indica que a altura x vale o mesmo que (30 + d). Aplicando a razão relativa à tangente, temos:

6. Determine na figura a área do triângulo BCD e a medida do segmento .

Solução. No triângulo ABC aplicando a razão relativa à tangente, temos:

. Com esse valor, calcula-se o valor de y:

i) Área de BDC:

ii) Valor de : 90cm – 30cm = 60cm.
7. (FUVEST) A raiz da equação é x = 1, sendo α e β os ângulos indicados no triângulo retângulo da figura.

Calcule as medidas de α e β.



Solução. Se x = 1 é raiz, então.

Utilizando o fato de cos(90º - α) = sen β, substitui-se na equação e resolve-se com uma só incógnita.

Como cosα não é nulo (α ≠ 90º), temos que: .


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