Analiz vY cYbrin YdYdi ьsulları fYninY giriş




Yüklə 0.56 Mb.
səhifə1/4
tarix21.04.2016
ölçüsü0.56 Mb.
  1   2   3   4
Analiz vY cYbrin YdYdi ьsulları fYninY giriş

HYr bir riyazi fizik tYnliyin hYlli ьsulu 2 cur olur. 1.dYqiq ьsul 2. tYqribi ьsul. TYqribi ьsullar цzьdY 2 cьr olur: analitik vY YdYdi ьsullar. DYqiq ьsullarda tYnliyin hYlli dYqiq tapılır. YYni mYhsulun tapılmış qiymYtlYrini yerinY yazanda bYrabYrlik dYqiq цdYnir, lakin зox vaxt dYqiq hYlli tapmaq mьmkьn olmur. Ona gцrYdY tYqribi ьsullarla dYqiq hYllY yaxın olan tYqribi hYll axtarılır. MYsYlYn Nyuton- Leybinist dьsturuna YsasYn



(1)

MьYyyYn inteqralı hesablamaq olar. Lakin iptidai funksiyanı зox vaxt elementar funksiyalarla ifadY etmYk mьmkьn olmur. Ona gцrY dY Nyuton-Leybinist dьsturunu tYtbiq etmYk mьmkьn olmur. (1) mьnasibYtindYki mьYyyYn inteqralı hesablamaq ьзьn aşağıdakı tYqribi ьsullar tYtbiq edilir.



  1. dьzbucaqlılar ьsulu

  2. trapesiyalar ьsulu

  3. parabola ьsulu

  4. Nyuton Cotes ьsulu

Analitik ьsulda mYchul funksiya dьstur şYkilindY axtarılır. MYsYlYn diferensial tYnliyin hYlli aşağıdakı sira şYkilindY axtarıla bilYr.

(2)

(2) bYrabYrliyindYki -lYr nY qYdYr зox tapılsa dYqiq hYll o qYdYr xYtasız tapıla bilYr. (2) bYrabYrliyindYki -lYrin sayı sonlu deyil. Ona gцrY dY (2) bYrabYrliyini istifadY etsYk hYmin ьsul tYqribi ьsul adlanır.

ЏdYdi ьsullardabirdYyişYnli mYchul funksiya aşağıdakı cYdvYl şYkilindY axtarılır

x ... y ... MYsYlYn diferensial tYnliyini (4)

Başlanğıc şYrtini цdYyYn hYlli Eyler, Runqe- Kutta metodları ilY cYdvYl şYkilindY tapıla bilYr. Riyazi fizika tYnliklYrinin 95%-i YdYdi ьsulla hYll olunur vY mYchul dYyişYnli funksiyası aşağıdakı xYdvYl şYkilindY hYll olunur.

y x ... ... ... ............... ...

Biz yalniz tYqribi ьsulları цyrYnYcYyik. HYmin mцvzular aşağıdakı kitablarda yazılır.



  1. TYqribi hesablama ьsulları

  2. Hesablama riyaziyyatı

  3. ЏdYdi ьsullar

  4. Proqramlaşdırma ьsulları

  5. Riyazi proqramlaşdırma

  6. Optimallaşdırma ьsulları

  7. Hesablama metodları

  8. AlqoritimlYşdirmY ьsulları

Son vaxtlar hYmin mцvzular aşağıdakı fYnnlYrin tYrkibindY цyrYnilir. 1) Analizin vY cYbrin YdYdi ьsulları 2) Diferensial vY inteqral tYnliklYrin YdYdi ьsulları 3) Komputer riyaziyyatı

Qeyd: Зox vaxt hYmin mцvzular cYbr, riyazi analiz, diferensial tYnliklYr, riyazi fizika tYnliklYri, inteqral tYnliklYri kitabinda ayrica fYsil kimi tYdris olunur. HYr bir metodun tYtbiqi ьзьn ayrıca alqoritim tYtbiq olunur. Geniş mYnada alqoritim dedikdY hYr mYsYlYnin hYll metodu hYm dY texniki imkanlar nYzYrdY tutulur. Ьmumi dьnya gцrьşь formalaşması hYndYsi alqoritmik vY mYntiqi tYfYkkьrьn inkişafı nYzYrdY tutulur.

Elm vY texnikanın naliyyYtlYrinY uygun olaraq hal hazırda insan komputer mьnasibYtlYrini keyfiyyYtcY yeni mYrhYlYlYrinin formalaşması uğurla davam edir. Bu mYqsYdlY yeni tYtbiqi proqram tYminatı tYtbiq edilir.FK-lYrin inkişafı yeni imkanlar yaradır. Tam hesabla tYqribi ьsullar arasındakı YlaqY ьmumi metodologiya nYzYrdYn keзirilir. HYr bir metodun цz ьstunlьyь araşdırılır. Ьsullar arasındakı analogiya tYtbiq olunur. Iterasiya ьsulu ilY aşağıdakı mYsYlYlYr hYll olunur.



  1. CYbri xYtti tYnliklYr sistemi

  2. Qeyri xYtti tYnliklYr sistemi

  3. Diferensial tYnliklYr

Qauss ьsulundan istifadY edYrYk aşağıdakı mYsYlYlYri hYll etmYk olar:

  1. Matrisin rangı

  2. Vektorların xYtti asılılığı

ElY proqramlaşdırma dillYri var ki hYr bir metodu tYtbiq etmYk ьзьn metoda aid olan YmYllYrin hamısı ardıcıl olaraq YmrlYrlY YvYz olunur.

ElY tYtbiqi proqramlar var ki metodlar mьtYxYssis tYrYfindYn tYtbiq edilir. DigYr istifadYзilYr isY hazır proqramdan mьraciYt etmYyin qaydalarını цyrYnmYlidir. Metodun цzь ьзьn program tYtbiq etmir. “ Exel”dY aşağıdakı tYtbiqi programlar var.

1.Matrisin hasili

2.determinantin hesablanması

3. TYrs matrisin hesablanması

4. Qauss metodu vY s.



Elementar xYtalar nYzYriyyYsi

ЏgYr kYmiyyYtin dYqiq qiymYti-A, tYqribi qiymYti-a olarsa onda onda kYmiyyYtinY hesablama kYmiyyYtin mьtlYq xYtası deyilir. isY nisbi xYta deyirlYr. Nisbi xYta cox vaxt faiz ilY gцstYrilir. MьtlYq xYta hesablamanı keyfiyyYtini ifadY etmir. Nisbi xYta isY hesablamanın keyfiyyYtini ifadY edir.





%=0.115

XYtanın YmYlYgYlmY sYbYblYri



  1. Axtarılan kYmiyyYtin ancaq sYrhYdlYri mYlum olur. DYqiq qiymYt mьmkьn deyil. Yaxud proseslYrin riyazi modeli tYrtib edildikdY kYmiyyYtin цzь ilY modeli arasında fYrq olur. YYni adikvatlıq pozulur, mYsYlYn sьrtьnmYyY qarşı hYrYkYt edYn cismin hYrYkYtinY havanın mьqavimYt qьvvYsi nYzYrY alınmır. Real proses modellYşdirdikdY xYtaya yol verilir. MYsYlY iştirak edYn parametrlYrin bYzilYri tYsadьfi olur, yaxud tYcrьbYdY tYqribi ьsullar olur. Metodun цzь xYtaya malikdir. MьYyyYn inteqralı hesablamaq ьзьn tYtbiq edilYn trapesiyalar ьsulunun xYtası parabolaların xYtasından azdır. Hesablamanın gedişindY yuvarlaqlaşma ilY YlaqYdar olaraq xYta adlanır. MYsYlYn xYtti cYbri tYnliklYr sistemini hYll etdikdY mYchulların sayı зox olan halda hesab YmYllYrini yerinY yetirdikdY xYta yaranır. Ьsul цzь dYqiq olsada cavab dYqiq olmur. Ona gцrYdY dYqiq hYllY yaxınlaşmaq ьзьn iterasiya vY zeydel ьsullar tYtbiq edilir.4-cь nYsil komputerlYrdY yalnız 7 rYqYmi doğru olur. 12 rYqYmi dYqiq hesablamaq ьзьn 2 qat dYqiqlik rejimindYn istif edilir. Ondan istifadY etdikdY hesablama sьrYti azalır. FK-lYr hYm dYqiqlik yaxşıdı hYm dY dYqiqlik yaxşıdı hYm dY hesablama sьrYti yuxarıdı .24-35 vY daha cox rYqYm hesablamaq olur.19 YsrdY ingilis alimi Şenks 20il YrzindY YdYdi ьзьn 705 rYqYm hesablanmışdır. Mьasir komputerdY mYlum olmuşdur ki bunun yalniz 500 rYqYmi doğrudur.

MatrislYr nYzYriyyYsinin bYzi mYlumatları

n sayda sYtiri, k sayda sьtunu olan dьzbucaqlı cYdvYlY цlзьlь matris deyilir vY latın Ylifbasının kiзik hYrflYri ilY işarY olunur



A matrisin kimidY yazilir.



)

Yalnız bir sYtirdYn ibarYt olan matrisY sYtir matris deyilir. Yalnız bir sьtundan ibarYt olan matrisY sьtun matris, sYtir vY sьtun matrisY birlikdY vektor deyilir. Geniş mYnada n*k цlзьlь matris n*k цlзьlь vektora bYrabYr hesab edilir. SYtirlYrin sayı sьtunlarin sayına bYrabYrdirsY belY matrisY kvadrat matris deyilir. Kvadrat matrisin sYtirlYrinin sayına onun tYrtibi deyilir. 3tYrtibli vahid matrisdir. Kvadrat matrisdY birinci sYtirlY birinci sьtunun kYsişmYsindY duran elementlY. Sonuncu sYtir vY sьtunun kYsişmYsindY duran elementi birlYşdirYn dьz xYt ьzYrindY yerlYşYn bьtьn elementlYrY dioqanal elementlYr deyilir. AdYtYn hYmin dioqanala baş dioqanal, ona paralel olan digYr dioqanallara yan dioqanal baş dioqanalın bir tYrYfindY yerlYşYn bьtьn elementlYr sıfırdırsa belY matrisY ьзbucaq matris deyilir. Baş dioqanalın hYr iki tYrYfindYki elementlYr sifirdirsa belY matrisY dioqanal matris deyilir. Aydındır ki baş dioqanal elementlYrinin hYr biri ьзьn birinci vY ikinci indeks bir-birinY bYrabYrdir. YYni dioqanal yazıla bilYr. Dioqanal elementlYrinin hamısı vahidY bYrabYrdirsY, onda dioqanal matrisY vahid matris deyilir. -3 tYrtibli vahid matrisdir. Bьtьn elementlYri sıfıra bYrabYr olan matrisY 0 matris deyilir. Matrisin sYtirlYri ilY sьtunlarının yerini dYyişsYn alınan yeni matrisY YvvYlki matrisin transporisYsi deyilir. A matrisinin transponirYsi deyilir. A matrisinin transponirYsi vY ya kimi yazılır.

TransponirYsi цzьnY bYrabYr olan matrisY simmetrik matris deyilir.

Misal. Simmetrik matrisin yazılmamış elementlYrini tapın



x=6, y=7, z=8

Simmetrik A matrisinin elementi ьзьn yaza bilYrik.



MatrislYr ьzYrindY YmYllYr

Eyni цlзьlь A vY B matrislYrinin cYmi C=A+B kimi yazılır. C matrisin elementlYri A+B matrislYrinin uyğun elementlYrinin cYminY bYrabYrdir.

A matrisinin hYqiqi YdYdinY hasili ilY yYni matrisi alınır ki D matrisinin hYr bir elementi ilY k YdYdinin hasilinY bYrabYrdir.

Eyni цlзьlь iki matrisin fYrqi ilY hesablanır.

A matrisinin B matrisinY hasili C=A*B şYkilindY yazılır. Matrisin hasili ьзьn birinci matrisin sьtunlarının sayı 2-ci matrisin sYtirlYrin sayına bYrabYr olmalıdır. C matrisinin elementi A matrisinin nцmrYli sYtir elementlYrinin B matrisin nцmrYli sьtun elementlYrinY vurub alınan hasillYri cYmlYmYklY YldY edilYn YdYdY bYrabYrdir. mьnasibYtini цdYyYn E matrisinY vahid matris deyilir. Matrisin hasilindY yerdYyişmY qanun u doğru deyil.

MatrislYrin ьzYrindY YmYllYrin aşağıdakı xassYlYri var



0*



Matrisin normaları

Matrisin normaları ilY işarY edilir. Norma aşağıdakı metrikaları цdYyir. Norma hec vaxt qiymYt almir. Normanin sıfıra bYrabYr olmasının zeruri vY kafi şert matresin ozьnьn sıfıra bYrabYr olmasidir.

1.

2. sabit vuruğu mьtlYq qiymet işaresi ile birlikde norma işarYsindYn xarice зıxarmaq olar.

3. cYmin norması normalar cYmindYn bцyьk deyil.

4. hasilin norması vuruqların normasından bцyьk deyil

A matrisinin norması aşağıdakı 3 dьsturdan biri ilY hesablanır.



1. 2.

3.

Birinci normaya sYtir norması deyilir. Ikinciye sьtun norması,ьзьncьyY evkilit norması deyilir.

Misal1.





Misal2. SYtir matrisin normasını tapın.





Matrisin determinantı

TYrif: 2 tYrtibli A matrisinin determinantı detA ilY işarY olunur.

=

3 tYrtibli A matrisinin determinantı aşağıdakı kimi hesablanır



=

A matrisinin( determinanatı) mьYyyYn elementinin yerlYşdiyi sYtir vY sьtunu pozsaq yerdY qalan elementlYri nizamını dYyişmYdYn YmYlY gYtirdiyi determinanta elementinin minoru deyilir vY ilY işarY edilir.



.....

TYrifdYn gцrьndьyь kimi matrisin hYr bir elementinin minoru uyğun determinantın tYrtibindYn bir vahid az olan yeni determinanta bYrabYrdir.



-nin cYbri tamamlayıcısı aşağıdakı dьsturla hesablanır.

Minor vY cYbri tamamlayıcı mьtlYq qiymYtcY bYrabYrdir. Elementin indeksi cYmi cьt YdYd olanda minor vY cYbri tamamlayıcı ьst-ьstY dьşьr. O biri halda minor vY cYbri tamamlayıcı Yks işarYli olur.



Laplas. HYr bir determinantın sYtir elementlYrini uyğun cYbri tamamlayicilarına vurub toplasaq alınan cYm determinantın цz YdYdi qiymYtinY bYrabYr olar.





Qeyd: kvadrat matrisin detrminantı bir hYqiqi YdYddir, mYnfi, mьsbYt vY sıfıra bYrabYr ola bilYr, lakin matrisin norması 3 mьxtYlif ьsulla hesablanan 3 mьxtYlif kYmiyyYtdir. MYsYslY hYllindY 3 normadan 1-i gYrYk olur.

Laplas teoreminin dьsturu onu gцstYrir ki hansı sYtirdY( sьtunda) onların sayı зoxdursa, hYmin sYtir ьzrY determinantın aзılışını yazmaq Ylverişlidir. Determinantı hesabladıqda xassYlYrdYn istifadY olunur.



YьksYk tYrtibli determinantların hesablanması

Tutaq ki n tYrtibli determinant verilmişdir hYmin determinantı birinci sYtir elementinY gцrY ayrılışını yazaq.



= (1)

ilY elementinin cYbri tamamlayıcısı işarY edilmişdir. (1) dьsturu Laplas tYnliyi Ysasında verilmişdir. (1) dьsturundan gцrьnьr ki (1)-ci sYtirdY hansı element sıfıra bYrabYrdirsY hYmin elementin cYbri tamamlayıcısını hesablamağa ehtiyac yoxdur. n tYrtibli determinantı hesabladıqda hansı sYtir ьzrY sıfırların sayı зoxdursa, hYmin sYtir ьzrY determinantın aзılışını yazmaq lazımdır. Ona gцrY dY yьksYk tYrtibli determinantları hesabladıqda determinantın xassYlYrdYn istifadY edYrk onu elY şYkilY gYtirmYk lazımdır ki, eyni sYtirdY( sьtunda ) sıfırların sayı зox olsun. Aydındır ki, (1) bYrabYrliyin sol tYrYfindY yazılan determinantın tYrtibi n-Y bYrabYr olduqda sağ tYrYfdY yazılmış determinantların sayı зox olsa da tYrtibi -Y bYrabYrdir. Başqa sцzlY hesablamada aşağı tYrtibli determinantlardan istifadY edilir.

Misal.

=

Matrisin ranqı vY onun hesablanması

FYrz edYk ki, цlзьlь A matrisi verilmişdir.



Bu matrisin hYr sьtununa( sYtrinY) vektor kimi baxmaq olar. DemYli sYtrin xYtti asılılığı dedikdY hYr bir sYtirY uyğun olan vektorların xYtti asılılığı nYzYrdY tutulur.



TYrif : Verilmiş (*) vektorlar sistemi ьзьn (1). (1) mьnasibYtinin doğru olması ьзьn (2) şYrtlYrinin цdYnilmYsi zYruruidirsY, onda deyirlYr ki, (*) vektorlar sistemi xYtti asılıdır. (1) vY (2) mьnasibYtindYki hYqiqi YdYdlYrdir.

Qeyd: YdYdlYrindYn heз olmazsa birinin sifirdan fYrqli olması şYrti riyazi olaraq aşağıdakı kimi yazılır.

(3)

GцsrYrmYk olar ki, A matrisinin rangı sıfırdan fYrqli olan Yn yьksYk tYrtibli minorun tYrtibinY bYrabYrdir. Geniş mYnada minor dedikdY p sayda sYtir p sayda sьtunun kYsişmYsindY duran elementlYri цz aralarında nizamı dYyişmYdYn YmYlY gYtirdiyi p tYrtibli determinanta deyilir.



Misal: Verilmiş matrisdY 3 tYrtibli minoru yazın.

Matrisin rangının hesablanması ьзьn mьxtYlif ьsullar vardır.



  1. Minor ьsulu. Bu ьsulda verilmiş matrisin elementlYrindYn istifadY edYrYk 2,3,4 tYrtibli minorları sıra ilY hesablamaq lazımdır.

ЏgYr 2 tYrtibli minordan ixtiyarı biri sıfırdan fYrqlidirsY, demYli rang

ЏgYr 3 tYrtibli minordan da ixtiyari biri sıfırdan fYrqlidirsY, demYli rang rang . Bu qaydada зoxlu minor hesablamaq olar. Bu ьsul Ylverişli deyil.



Qeyd: GцstYrmYk olar ki, A matrisinin rangı xYtti asılı olmayan sYtirlYri (sьtunları) maksimal sayına bYrabYrdir.

TYrif. Aşağıdakı 3 YmYllY birlikdY elementar зevirmY deyilir.

Matrisin 2 sYtirinin yaxud sьtunun yerini dYyişmYk sYtirlYrdYn( sьtunlardan )biri sıfırdan fYrqli hYr hansı YdYdY vurmaq.

SYtirlYrdYn hYr hansı birini sıfırdan fYrqli YdYdY vurub o biri sYtrin ьzYrinY YlavY etmYk.


  1. Elementar зevirmY ьsulu. Bu ьsulda yalnız sYtirlYr yalnız sьtunlar ьzYrindY elementar зevirmY aparmaqla matrisi ьзbucaq şYkilli matrisY gYtirmYk. YYni baş dioqanala nYzYrYn dioqanalın bir tYrYfindY sıfıra bYrabYr olan elementlYr almaqdır ( Qauss ьsulunda olduğu kimi).

Misal. Verilmiş matrisin rangını hesablayın.

= =

Cavab: rang A=3

ЏgYr verilmiş matrisin цlзьsь olarsa, onda

TYrif. Matrisin sYtir sьtunların ьzYrindY elementar cevirmY apardıqda alınan yeni matrisY YvvYlki matrisY ekvivalent olan matris deyirlYr. YYni ekvivalent 2 matrisin biri digYrindYn elementar зevirmY ilY alınır. 2 ekvivalent matris arasında işarY yazılır.

Qeyd. Rangın hesablanması ьзьn başqa ьsullarda var.2-ci ьsul onu gцstYrir ki, rangı hesabladıqda Qayss ьsulundan istifadY olunur.
TYrs matris vY onun hesablanması
TYrif: A matrisin tYrsi elY B matrisinY deyilir ki, onların hasili vahid matrisY bYrabYr olsun .
Teorem: Kvadrat A matrisinin tYrsinin varlığı ьзьn zYruri vY kafi şYrt onların determinantının sıfırdan fYrqli olmasıdır. (1)

Isbatı: Determinantın xassYsinY gцrY hasılın determinantı determinantlar hasilinY bYrabYrdir. (1)dYn yaza bilYrik Vuruqlardan biri sifır olarsa, hasil vahidY bYrabYr ola bilmYz ( ) vY ( ) A matrisinin tYrsi ilY işarY edilir. YYni

TYrif: Determinantı sıfırdan fYrqli olan kvadrat matrisY cırlaşmayan yY yaxud qeyri mYhdud matris deyilir.

TYrs matrisin hesablanması ьзьn 3 ьsul var.

1.) (2)

Burada ilY elementinin cYbri tamamlayıcısı işarY edilmişdir. birinci ьsul ilY tYrs matrisi hesablamaq ьзьn aşağıdakı ardıcıllığa YmYl etmYk lazımdır.

1.1 elementlYrinin minorlarını sonra isY cYbri tamamlayıcılarını hesablamaq lazımdır.

1.2 detA-nı hesablamaq lazımdır.

1.3 (2) dььsturu Ysasında tYrs matrisi hesablamaq lazımdır.

2.) Elementar зevirmY ьsulu. Bu ьsulda verilmiş A matrisi Ysasında aşağıdakı matrisi yazmaq olar.



Bь ьsulda F matrisinin yalnız sYtirlYri yaxud sьtunları ьzYrindY elementar зevirmY aparmaqla F matrisinY yalnız sYtirlYri yaxud sьtunlrı ьzYrindY elementar зevirmY aqarmaqla F matrisinY ekvivalent olan elY yeni matris tapmaq lazımdır ki, onun ilk n sayda sьtununda vahid matrisin sьtunları alınsın yYni







  1. MYchul elementlYrdYn istifadY etmYklY tYrs matrisi hesablamaq mьmkьndьr.

FYrz edYk ki, 2 tYrtibli matris verilmişdir.

FYrz edYk ki, A matrisinin tYrsi aşağıdakı kimi yazılır.




FYrz edYk ki, onda olmalıdı

(3)

Sonuncu mьnasibYtdY yazılmış hYr bir matrisin 4 elementi vardır. (3)dYn alarıq



(4)

(4) sistemi mYchullara nYzYrYn xYtti sistemdir. (3) vY (4) mьnasibYtindY 4 mYchul var. HYmin mYchullar (4) sistemindYn tapıla bilYr.



Misal. CYbri tamamlayıcıları tapmaqla verilmiş matrisin tYrsini tapın.



HYlli.

detA=






CYbri xYtti tYnliklYr sisteminin Kramer ьsulu ilY hYlli
Ьmumi halda XCTS aşağıdakı kimi yazılır.

(1)

Burada mYchul YdYdlYrdir.

HYmin mYchulların Ymsalları olan YdYdlYr vY -lYr YvvYlcYdYn verilmiş YdYdlYrdir.

Aşağıdakı işarYmYlYri qYbul edYk.



(2)

(2) işarYlYrdYn istifadY etsYk (1)-i qısa şYkildY aşağıdakı kimi yaza bilYrik. (3). (3)-Y (1)-in matris şYkilindY ifadYsi deyilir.

FYrz edYk ki, A-nın tYrsi var (3)-ьn hYr iki tYrYfini -Y vuraq



(4)

(4)-Y (1)-in tYrs matris ьsulu ilY hYlli deyilir. Aşağıdakı determinantları yazaq


-Y kцmYkзi determinantı deyilir. Sistemin hYlli aşağıdakı dьsturlarla hesablanır. aşağıdakı hallarda da ola bilYr.

1 hal: , bu halda sistemin hYlli var yeganYdir.

2 hal: bu halda sistemin hYlli var. Sonsuz sayda 1 halda sistemin hYlli (*) dьsturuyla hesablanır . 2 halda sistemin hYlli başqa dьsturla hesablanır. Bu halda Qauss dьsturu tYtbiq olunur.

3 hal: D=0 kцmYkзi determinantdan heз olmasa biri “ 0”-dan fYrqlidir. 3-cь halda sistemin hYlli yoxdur.

Qeyd: olarsa bu halda (1)-Y bircins sistem deyilir. Bircns sistemin Yn azı bir hYlli var . HYmin hYllY trivial hYll deyilir. Yuxarıdakı izahdan aydın olur ki, bircins sistemin sıfırdan fYrqli olması ьзьn zYruri şYrt sistemin baş determinantının sıfıra bYrabYr olmasıdır.

Kroner-Kappelli teoremi

FYrz edYk ki, CXTS verilmişdir


(1)

(2) AX=B (3)

Teorem: (1) sisteminin birgY olması ьзьn zYruri vY kafi şYrt A matrisi ilY T matrisinin eyni ranglı olmasıdır. rangA=rangT

T matrisi a matrisinY B matrisini YlavY etmYklY



A matrisi kvadrat matrisdi B matrisi isY sьtun matrisdir.



Isbatı (zYrurilik) A matrisinin sьtunlarını ilY işarY edYk. Onda teoreminin şYrtinY (1) sisteminin hYlli var yYni elY YdYdlYri var ki, (4)

YYni (4) mьnasibYti onu gцstYrir ki, B vektoru vektorlarının xYtti kombinasiyasıdır. Ona gцrYdY ( ) vektorlar sistemi iзYrisindY maksimal sayda xYtti asılı olmayan bir neзY vektor varsa, vektorlar sistemindY dY xYtti asılı olmayan hYmin qYdYr vektor vardır. Burada aşağıdakı lemmadan istifadY olunur.



Lemma : Vektorlar sisteminY onların xYtti kombinasiyalarından ibarYt yeni vektorlar daxil etsYk, sistemin rangı dYyişmYz.

Kafilik. FYrz edYk ki, A ilY B matrisi eyni ranglıdır. DemYli A matrisindYki xYtti asılı olmayan sьtunların sayı qYdYrdir. DemYli T matrisinin son sьtunu YvvYlkilYrlY xYtti ifadY olunur, зьnki B matrisi A matrisindYn yalniz sonuncu sьtun ilY fYrqlYnir, YgYr T matrisinin sonuncu sьtununu A matrisinin sonuncu sьtunu ilY xYtti ifadY olunmasaydı, onda A ilY T matrisinin rangı eyni olmazdı. DemYli xYtti kombinasiyanın ifadYsi ьзьn elY YdYdlYri var ki, . Sonuncu bYrabYrlik Ysasında ( ) vektoru (1) sisteminin hYllidir.

CXTS-nin hYlli ьзьn Qauss ьsulu


(1)

(2) AX=B (3)

  1. sistemindY mYchulların vY tYnliklYrin sayı ьst-ьstY dьşьr. Qauss ьsulu daha ьmumi halda tYtbiq edilY bilir. MYchulların sayı sYtirlYrin sayından fYrqli olduqda da Qauss ьsulu tYtbiq edilY bilYr. Sistemin matrisi A ilY işarY edilir, mYchulların Ymsallarından ibarYtdir. (3) mьnasibYtinY sistemin matris şYkilindY ifadYsi deyilir. Ьmumiliyi azaltmadan fYrz edYk ki, Yks halda hansı sYtirdY in Ymsalı sıfırdan fYrqlidirsY, hYmin sYtirlY birinci sYrin yerini dYyişmYliyik. Birinci sYtiri YdYdinY vurub, 2-ci sYtir ьzYrinY YlavY etsYk, 2-ci sYtirdY -in Ymsalı 0 olar. 2-cidYn sonra gYlYn bьtьn sYtirlYrdY -in Ymsalını 0-a зevirY bilYrik, nYticYdY aşağıdakı sistemi alarıq.

(4)

Sonuncu sistemdYn gцrьnьr ki, x mYchulu yalnız 1 sYtirdY iştirak edir. DemYli sYtirlYrdY sayda mYchul vardır. Ona gцrYdY sayda mYchullu sitemY YvvYlki YmYliyyatı analoji qaydada tYtbiq edY bilir. Başqa sцzlY qYbul etmYklY 11dYn sonra gYlYn sYtirlYrin hamisından mYchulunu yox ede bilYrik.



(5)

Analoji qaydada 4-cь sYtirdYn başlayaraq mYchulunu yox edY bilYrik vY s. Sonuncu sYtirY deyilYnlYri tYtbiq etsYk nYticYdY aşağıdakı sistemi alarıq.



Bura qYdYrki YmYliyyat Qauss ьsulunun dьz gedişi adlanır. Bu ьsulda mYchullar nцvbY ilY yox edildiyindYn hYmin ьsula hYm dY mYchulu yox etmY ьsulu deyilir. (6) –nı ьзьn aşağıdakı variantlar ola bilYr.

1. ola bilYr. Bu halda sistemin sonuncu hYlli var. YgYr sistemin determinantı sıfıra bYrabYrdirsY, onda (6)-nın axırıncı sYtirindY -in Ymsalı sıfıra bYrabYr alınır.

2. Bu halda (1)sitemin hYlli yoxdur (1) (6) sistemlYri bir-birilY ekvivalentdir

3. Bu halda sistemin hYlli yeganYdir. HYmin yeganY hYlli tapmaq ьзьn (6)-nın sonuncu sYtirlYrindYn başlayaraq mYchulları tYrs nizamla tapmaq lazımdır. Bundan sonra gYlYn YmYliyyatları birlikdY Qauss ьsulunun tYrs gedişi deyilir. -in tapılmiş YvvYlki sYtirlYrdY yazmaqla tapırıq. Onun qiymYtin YvvYlki sYtirlYrdY nYzYrY alsaq tapırıq.

  1   2   3   4


Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©azrefs.org 2016
rəhbərliyinə müraciət

    Ana səhifə